电动力学电动力学二四镜象法

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1、1第四节镜象法求解静电场2目的：学习一种求解静电场的特殊方法--镜象法（简洁明了）主要内容：一、相关内容回顾二、镜象法的基本思想三、镜象法应用举例四、总结与讨论3唯一性定理给出静电场可以唯一求解的条件唯一性定理：在可均匀分区的区域V内给定自由电荷分布，区域V内的电场由V的边界S上的电势或者电势法向导数唯一地确定。一、相关内容回顾4如果V内含有导体区域，将导体表面视为边界面。如果不是给定导体边界上的电势或者电势法向导数，而是给定每个导体上的总电荷，唯一性定理同样成立。这是由电荷与电场之间的制约关系决定的。5分离变量法：适用于所考虑的区域内没有自由电荷

2、分布的情况，求解拉普拉斯方程。分离变量法（）镜象法（？）格林函数法（？）多极矩展开法（？）静电学的基本问题是求满足给定边界条件的泊松方程的解。主要方法有四种。6一种重要的特殊情形是：区域内只有一个或者几个点电荷。区域的边界是导体或者介质。这一个或者几个电荷要在导体界面产生感应电荷，或者在介质表面产生束缚电荷。二、镜象法求解静电场的基本思想78三、镜象法应用举例例1接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q，求空间中的电场。9解电荷：一个点电荷界面：接地无穷大导体区域：上半空间（下半空间电势为零）已知界面电势为零，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。10上半空间

3、的电势的特征：导体表面是等势面电场线垂直于导体表面点电荷Q使导体表面产生异号的感应电荷Q。整个电场是由Q和Q共同产生的。电荷分布和电场分布：11设想在导体板下方与电荷Q对称的位置上放一个假想电荷Q’=Q，然后把导体板抽去。这样，没有改变所考虑空间的电荷分布（即没有改变电势服从的泊松方程）。假想电荷Q’与给定电荷Q激发的总电场如图所示。由对称性看出，在原导体板平面上，电场线处处与它正交，因而满足边界条件。12导体板上部空间的电场可以看作原电荷与镜象电荷共同激发的电场。场点P的电势导体板上的感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q’代替。13选Q到导体板上

4、的投影点O作为坐标原点，设Q到导体板距离为a，有可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是一种求解泊松方程的简洁方法。14151617例2真空中有一半径为R0的接地导体球，距球心为a（a>R0）处有一点电荷Q，求空间各点的电势（如图）。18解电荷：一个点电荷界面：导体球面区域：球面外区域已知界面电势为零，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。19点电荷Q使导体表面产生异号的感应电荷Q’。电荷分布和电场分布：整个电场是由Q和Q’共同产生的。20在球内区域（所考虑区域之外）引入象电荷，取代球面上的感应电荷，不改变体系方程。球面外区域电势的特征：导体表面是等势面电场

5、线垂直于导体表面预计电场线如图所示21不改变边值关系和边界条件的要求为由对称性，Q’应在OQ连线上。考虑球面上任一点P（如图）22因此对球面上任一点，应有只要选Q’的位置使OPQ~OQ’P，则23假想电荷Q’的大小为由两三角形相似的条件可得假想电荷Q’的位置24球外任一点P（如图）的电势为25根据高斯定理，收敛于球面的电通量为Q’。Q’为球面的总感应电荷，它是受电荷Q的电场的吸引而从接地处传至导体球上的。物理结果讨论：然而

6、Q’

7、

8、地而带电荷Q0，求球外电势，并求电荷Q所受的力。31这里给出的条件为：（1）球面为等势面（电势待定）；（2）从球面发出的总电通量为Q0。在球内放置与上例相同的假想电荷Q’（电势为零），在球心处再放一个假想电荷Q0－Q’（球面等势），就可同时满足上面两个条件。解3233球外任一点P的电势为34因此电荷Q所受的力等于Q’和球心处的电荷Q0－Q’对它的作用力F，35过渡到点电荷相互作用模型吸引力，趋于消失R00物理结果讨论：36aR0即使Q和Q0同号，只要Q距球面足够近，就受到导体的吸引力。原因：虽然整个导体的电荷与Q同号，但在靠近Q的球面部分出现异号电荷。

9、从而相互吸引起主要作用。吸引力起主要作用（数值大于第一项）42根据唯一性定理要求的条件求解电磁场泊松方程边值问题；在求解区域之外引入象电荷取代感应电荷，保持求解区域电荷分布不变；引入镜象电荷，不改变求解区域边值关系和边界条件。1、镜象法的基本要领四、总结与讨论43两种方法都是根据边值关系和边界条件进行求解；可解的条件都是唯一性定理所要求的分区均匀介质和边界条件。2、与分离变量法比较共同点：44不同点：分离变量法镜象法电荷分布求解区域没有（或者经过变换没有）自由电荷分布求解区域有一个或者几个自由点电荷具体方法分离变量求解拉普拉斯方程求解区域之外引入象电荷取代

10、感应电荷45从前两节的例子可以看出，边值关系和边界条件对于求解电场