4.从Maxwell速度分布函数直接推导高分子链末端距径向分布函数

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1、从Maxwell速度分布函数直接推导高分子链末端距的径向分布函数32−′22h主讲:朱平平Wh=⋅′eβ4h()απ1.高分子链均方末端距的统计计算法一维空间的无规行走问题三维空间的无规行走问题2.相关性3.从Maxwell速度分布函数直接推导高分子链末端距的分布函数4.讨论一维空间的无规行走Z-b0mbZ+b沿x轴无规行走，每步长为b，总共走了Z步ZZ+=Z+−ZZ−=m+−解得：Zm+Z=+2Zm−Z=−2实现这种无规行走的几率走出Z+步和Z-步，共有多少种走法：ZZ!!WZ()==±ZZ!!Zm+−Zm+−!!22实现这种无规行走的几率：Z+−ZZZZ!1⎛⎞⎛⎞

2、1!⎛⎞1WZ(),m=⋅⎜⎟⋅⎜⎟=⋅⎜⎟Zm+−Zm⎝⎠22⎝⎠Zm+−Zm⎝⎠2!!!!2222几率密度函数—高斯函数在Z>>1，mZ<<的假设条件下，作斯特林近似，再将有关项作级数展开，略去高次项得：2m2−WZ(),m=⋅e2ZπZ走Z步后离原点的距离：xm=b2x2−2∆x停在xx→+∆x的几率：WZ(),x∆x=⋅e2Zb⋅πZb212β′−′22xβ令：β′=WZ,x=⋅e2()2Zbπ三维空间的无规行走在三维空间无规行走过程中，每走一步b时，它在各坐标轴上投影（bx，by，bz）为多少？令b与x轴的夹角用ψ表示，则b在x轴上的投影bb=cosψxbb=

3、cosψxπ2sinπbbψψ⋅dcosψψ=cos=0∫024πbb=0x三维空间的无规行走——每一步在三维空间无规行走过程中，每走一步b时，它在各坐标轴上投影（bx，by，bz）为多少？222bb=cosψxπ2sin122πhhψψ⋅dcosψψ=cos=∫0243πh22bb=x32bb=x3三维空间的无规行走——Z步在三维空间无规行走Z步后，在三个坐标轴上投影值为h→+hdh,,h→h+dhh→h+dhxxxyyyzzz的几率分别是：β′−′22hWZ(),hdh=eβxdhxxxπ22β′−β′hWZ(),hdh=eydhyyyπβ′−′22hWZ(),hd

4、h=eβzdhzzzπ21113β′====2222222ZbZbZb2Zbxyz三维空间的无规行走高斯分布函数三维空间的无规行走——Z步在三维空间无规行走Z步后，出现在(dhx,,dhydhz)的几率是：W()Z,,hdh=W(Zhx)W(Z,hy)W(Zh,zx)dhdhydhz3⎛⎞′−+′222+2ββ()hhxyhzW()Z,hdh=⎜⎟edhdhdhxyz⎝⎠π3⎛⎞β′−′22hWZ(),hdh=⎜⎟eβdhdhdhxyz⎝⎠π三维空间的无规行走——Z步如果不考虑方向，空间无规行走Z步后，出现在离原点距离为hh→+dh的几率是：3⎛⎞β′−′22hβ2WZ

5、(),4hdh=⋅⎜⎟eπhdh⎝⎠π末端距的几率密度函数（径向分布函数）：3⎛⎞β′−′22hWZ,4heβh2()=⋅⎜⎟π⎝⎠π球面坐标中的无规行走链径向分布函数三维空间的无规行走——Z步最可几末端距：12∗2212∗hZ==bhZ==b2β′3β′3根均方末端距：31223hZ2=⋅=bhZ==b22β′2β′平均末端距：2282222hZ==b()hZ==bπβ′3ππβ′3π高分子链末端距分布函数的统计计算法•一维空间的“无规行走”末端距三个分量分布的独立性假定•三维空间的“无规行走”求解小分子运动速度麦克斯韦的假定：气体中，每个分子的速度（v）时刻在变，完

6、全受概率所支配。在热平衡态下，速度三个分量（vx,vy,vz）是彼此独立的，对于宏观上静止的气体来说，速度的分布应是各向同性的。在速度空间中，vx,vy,vz的分布需要用同一形式的函数f(vi)（i=x,y,z）表示，且仅取决于速度的量值，与它在空间的方向无关。()()()()(2)(222)fv,v,v=fvfvfv=fv=fv+v+vxyzxyzxyz22()−βvifv=αe(ix=,,yz)i2222−+β(vv+v)22vfv33exyz∴e−β()==αα32∝−22⎛π⎞23βv3⎜⎟4πv⋅αedv=α=1∫0⎜2⎟⎝β⎠321∝−2v213π⎛1⎞34

7、3β3⎜⎟m4πv⋅αedv=m⋅4πα⋅=ε=kT2∫028⎜2⎟2⎝β⎠•求得：12⎛m⎞2mα=⎜⎟β=⎝2πkT⎠2kT•麦克斯韦速度分布函数：322⎛⎞mm⎡v⎤fv()=⋅⎜⎟exp⎢−⎥⎝⎠22πkT⎣kT⎦322⎛⎞mm⎡⎤v2f()vv=⋅⎜⎟exp⎢⎥−⋅4π⎝⎠22πkT⎣⎦kT讨论1.f(vx)、f(vy)、f(vz)的独1.线形高分子链——有大立性是麦克斯韦推导气体量链结构单元联结而成速度分布函数中最重要、最基础的一步2.作类似的独立性假定也是合理的——2.对于含有大量分子W(h)、W(h)、W(h)独立（102