2017高考数学北京卷(文)

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1、2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知，集合，则（）A．B．C．D．【答案】C，补集2．若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B，复数计算，复数坐标表示，，由，解得3．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．【答案】C，程序框图-循环结构，数学计算4．

2、若满足，则的最大值为（）7A．B．C．D．【答案】D，线性规划5．已知函数，则是（）A．偶函数，且在上是增函数B．奇函数，且在上是增函数C．偶函数，且在上是减函数D．奇函数，且在上是减函数【答案】B，函数的奇偶性，函数的单调性（增函数-减函数=增函数）6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】D，三视图，三棱锥体积7．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A，向量的数量积，8．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总

3、数约为．则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：）A．B．C．D．【答案】D，指对数运算，设，则，∴．第二部分（非选择题共110分）二、填空题，共6小题，每小题5分，共30分．9．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若7，则____________．【答案】，角终边的位置关系，诱导公式，10．若双曲线的离心率为，则实数____________．【答案】2，双曲线性质，由，得11．已知，，且，则的取值范围是__________．【答案】，二次函数求最值方法一：，，∴当或时，取最大值；当时，取最小值．12．已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的最大值为___

4、______．【答案】，向量数量积的坐标运算，，，，当时，最大值为13．能够说明“设是任意实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为____________．【答案】，，，验证假命题的反例（还有其他答案）14．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（1）男学生人数多于女学生人数；（2）女学生人数多于教师人数；（3）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．【答案】，，不等式范围设男生数，女生数，教师数为，则，，第一问：∵，∴；第二问：易知，∴，∴三、解答题共6小题，

5、共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题13分）已知等差数列和等比数列满足，，7．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求和：．【解】（Ⅰ）【等差通项】设公差为，依题意，∴，∴；（Ⅱ）【等比通项，】设的公比为，依题意，∴，∴是以为首项，为公比的等比数列，∴．16．（本小题13分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（II）求证：当时，．【解】（Ⅰ）【两角和差的三角函数，三角函数周期】∴的最小正周期；（Ⅱ）【三角函数取值范围】∵，∴，∴当，即时，有最小值，∴当时，．17．（本小题13分）某大学艺术专业名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取

6、了名学生，记录他们的分数，将数据分成组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图：7（Ⅰ）从总体的名学生中随机抽取一人，估计其分数小于的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于的学生有人，试估计总体中分数在区间内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于，且样本中分数不小于的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【解】【频率分布直方图，频率与概率，样本估计总体】（Ⅰ）由频率分布直方图知，分数小于的频率为，故从总体名学生中随机抽取人，估计其分数小于的概率为；（Ⅱ）由频率分布直方图知分数在之间的人数为（人），又分数小于的学生有人，∴估计总体中分数在区间内的人数为（人）；（Ⅲ）由

7、频率分布直方图知分数不小于的共人，由已知男女各占人，从而样本中男生有人，女生有人，故估计总体中男生与女生的比例为．18．（本小题14分）如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，为线段上一点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（Ⅲ）当平面时，求三棱锥的体积．【解】（Ⅰ）证明：∵，，平面，平面，且，【线面垂直判定】∴⊥平面，又∵平面，【线面垂直性质】∴；7（Ⅱ）∵，是的中点，∴，由（Ⅰ）知⊥平面，平面，【面面垂直判定】∴平面⊥平面，∵平面平面，平面，，【面面垂直性质】∴⊥平面，∵平面，∴平面