MTBF计算：关于估计值与置信区间

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1、关于估计值与置信区间关于估计值与置信区间我们在工作过程中常常看到这样描叙：u值的90%的置信区间为[θL,θu]、MTBF的95%的置信下限为6753小时。其中一个常用的概念是：置信区间。这个词包含有什么样的物理意义？我们怎么样去求这一个物理量的置信区间[θ1,θ2]？这是本文要阐述的主要内容。在理解这个概念之前，需要掌握一定的概率与统计知识。一、概率的基本知识。概率的定义以及概率的基本性质这里不作说明，只用一例题对概率的知识作一个回顾。例：从6双不同颜色的鞋中任意取4只，取到只有一双成对的鞋的概率是多少？第一种根据古典定义计算。P(A)=

2、k/n=（A中所含样本点的个数）/（全体样本点的总数）按照定义，最主要是要找出样本点的数量，通常要用到排列与组合的公式。这里对“分步完成”、“分类完成”、“排列”及“组合”的定义，不作说明；要强调一点：公式中k与n的计算方式要一致（如果n这个总数是用排列计算出来的，那么k就要用排列的个数）。解：n的求法；从12只鞋中任意取4只组合：共有12*11*10*9/4*3*2种取法；k的求法；从12只中取一双和另外2只组合：第一步取1双的取法有6种，第二步在剩下的10只中取两只不同颜色的鞋组合共有10*8/2种；所以k为6*10*8/2求P(A)；

3、运用公式直接求得P(A)=（6*10*8/2）/（12*11*10*9/4*3*2）＝16/33第二种根据统计定义计算。P(A)=k/n=（事件A发生的次数）/（重复试验次数）当重复次数不断增加时，P(A)趋于稳定，这个稳定值就是事件A的概率。解：见本论坛Angelo的解法（完全摘录如下）：从6双不同颜色的鞋里任意取出4只，4只鞋中“恰好只有2只配成一双”的概率=(1-四只鞋都不成对的概率-有两对鞋的概率)全不成对的概率:第一只鞋:P1=1第二只鞋:P2=10/11<不与前面所选鞋成对>第三只鞋:P3=8/10<不与前面所选鞋成对>第四只鞋

4、:P4=6/9<不与前面所选鞋成对>P不成对=P1*P2*P3*P4=16/33两对鞋的概率:六对鞋任取两对的取法/12只鞋取4只鞋的取法:5关于估计值与置信区间C6(2)/C12(4)=1/33P=1-P不成对-P2对=1-16/33-1/33=16/33；二、分布对不同的事件A有不同的概率P(A)，全体事件Ω发生的概率P(Ω)＝1；也就是说：在不同的事件A上分布着不同的概率，所有事件中每个事件对应的P(A)之和为1。如果把“不同的事件A”抽象成“一个变量”，那么针对每一个变量A就有一个概率P(A)与之对应，分布就是描述P(A)与A之间的

5、一种对应关系（从函数的定义上讲，对应关系就是函数表达式，不同的分布有不同的表达式）。若以变量A为x轴、以P(A)为y轴，那么就可以得到相应的图像，不同的分布对应不同的图像，有离散的、有连续的。每个一个具体的x值都有一个相应的y值，图像与x轴围成的面积为1。常见的分布有几种：二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、对数正态分布等等(这里不列出各种分布的表达)；对一种分布而言，有三个比较重要的特征数：均值、方差与标准差。均值是指表示分布的中心位置、方差用来表示分布的散布大小（将方差开平方后就得到标准差）。就标准正态分布而言，图像关于y轴对称，y

6、轴（也就是x=0）将“图像与x轴围成的面积”分为相等的二个部分；则可以这样的表达：x=0左边面积为0.5；0是标准正态分布的0.5的分位数；标准正态分布的0.5分位数为0；同样，某一分布的0.9分位数就是这样一个数：在x轴上的此数处做一垂直于x轴的直线，图像位于直线左侧的面积恰好为0.9，右侧一块面积恰好为0.1。大部份分位数可以查表得到。再如，查表得，对标准正态分布N(0,1)而言：A、0.00135的分数位为-3，说明位于x=-3左侧的面积为0.00135；B、0.99865的分数位为3，说明位于x=3左侧的面积为0.99865；所以，

7、位于x=-3和x=3之间的面积为0.9973，显然位于x=-3和x=3之外的面积为0.0027。那么，对非标准正态分布N(u,σ2)而言，如何求其0.975的分位数呢？先把非标准正态分布“标准化”，对上述分布而言，若令m=(x-u)/σ，而m就属于N(0,1)分布；再求“标准化”后的N(0,1)的0.975分位数（查表得1.96，所以m=1.96）；接着求出x（因为m=(x-u)/σ=1.96，所以x=1.96σ+u）。最后要讨论的是，对于任意一个分布，如何求x1、x2（x1

8、,4)为例，求指定面积为0.95时的x1、x2；假设“位于x1左侧面积”与“位于x2右侧面积”相等。第一步：先找面积大小。因为位于x1、x2之间的面积0.95，而且左右两侧面积相