第三章 插值法 三次样条插值

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1、第三章插值法第七节三次样条插值问题抛物线插值的误差比线性插值要小，是不是插值多项式的次数越高，精度就越好？1例：在[−5,5]上考察f(x)=2的L(x)。取xk=−5+kh1+xn(h=10/n,k=0,...,n)2.52n越大，端点附近1.5的抖动越大，称为Runge现象。10.50L(x)f(x)n×0.5--5-4-3-2-1012345分段低次插值ß在处理实际问题时，总是希望将所得到的数据点用得越多越好。最简单的方法是用直线将函数值点直接连接。ß分段低次插值基本思想：用分段低次多项式来代替单个多项式。具体作法：(1)把整个插值区间分割成多个小区间；(2)在每个小

2、区间上作低次插值多项式；(3)将所有插值多项式拼接整一个多项式。优点：公式简单、运算量小、稳定性好、收敛性…缺点：节点处的导数不连续，失去原函数的光滑性。三次样条函数ß样条函数由一些按照某种光滑条件分段拼接起来的多项式组成的函数。最常用的样条函数为三次样条函数，即由三次多项式组成，满足处处有二阶连续导数。定义设节点a=x

3、的确定节点：x

4、1)=4n–2个方程，还缺2个方程！ß实际问题通常对样条函数在端点处的状态有要求，即所谓的边界条件。边界条件ß第一类边界条件：给定函数在端点处的一阶导数，即s'(x)=f',s'(x)=f'00nnß第二类边界条件：给定函数在端点处的二阶导数，即s''(x)=f'',s''(x)=f''00nn当s''(x0)=s''(xn)=0时，称为自然边界条件，此时的样条函数称为自然样条函数。ß第三类边界条件：设f(x)是周期函数，并设x–x是n0一个周期，于是s(x)满足s'(x)=s'(x),s''(x)=s''(x)0n0n三次样条函数的计算ß设出s(x)在各个节点处的二阶导数

5、值，即s''(x)=M(j=0,1,2,…,n)jj考虑区间[x,x]，在此区间上，s(x)=s(x)是三次多项j-1jj式，故为线性函数，且利用线性插值公式，即可得的表达式：积分两次后即可得s(x)的表达式：j三次样条函数的计算将插值条件s(x)=y,s(x)=y代入可确定积分常数jj-1j-1jjjc和c，整理上式得：12只需确定M,M,…,M即可给出s(x)的表达式。01n三次样条函数的计算−s(x)在各个节点处的一阶导数存在s'(xj)=s'(xj)即有对s(x)求导得：j三次样条函数的计算整理后得关于M,M和M的方程：j-1jj+1μM+2M+λM=d三弯矩方程j

6、j−1jjj+1j其中⎧hhjj+1+=1μ=,λ=,μjλj⎪jjh+hh+h⎪jj+1jj+1⎨⎪6⎛⎜yj+1−yjyj−yj−1⎞⎟d=−=6f[x,x,x]⎪jh+h⎜hh⎟j−1jj+1⎩jj+1⎝j+1j⎠j=1,2,…,n-1共n-1个方程，附加边界条件，补充两个方程后，即可确定n+1个未知量M,M,…,M。01n第一类边界条件ß第一类边界条件：s'(x0)=y0',s'(xn)=yn'直接代入s(x)的一阶导数表达式即得j2M+M=6((y−y)/h−y')h≡d01101010M+2M=6(y'−(y−y)/h)h≡dn−1nnnn−1nnn与前面的n-

7、1个方程联立得n+1阶线性方程组：⎡21⎤⎡M0⎤⎡d0⎤系数矩阵严⎢⎥⎢M⎥⎢d⎥μ2λ⎢11⎥⎢1⎥⎢1⎥格对角占优，⎢μ2λ⎥⎢M⎥⎢d⎥2222故矩阵可逆，⎢⎥⎢⎥=⎢⎥OOOMM⎢⎥⎢⎥⎢⎥方程组存在⎢μ2λ⎥⎢M⎥⎢d⎥n−1n−1n−1n−1唯一解。⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣12⎦⎣Mn⎦⎣dn⎦第二类边界条件ß第二类边界条件：s''(x0)=y0'',s''(xn)=yn''直接可得M0=y0'',Mn=yn''前面方程中只含n-1个未知量，即可得n-1阶线性方程组:⎡2λ1⎤⎡M1⎤⎡d1−μ1y0''⎤⎢⎥