正态性假定：经典正态

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1、第4章经典正态线性回归模型本章继续讨论双变量的经典线性回归模型，但是，比前几章增加了一个假定，那就是假定总体干扰是正态分布的。这样的模型叫双变量经典正态线性回归模型(CNLRM：classicalnormallinearregressionmodel)。尽信书，不如无书。----孟子闻道，问道，悟道，开道贵州财经大学经济研究所白万平教授§4.1干扰ui的概率分布前面讲OLS法时，对ui所作的假定仅仅是：它们的期望为零，它们是不相关的，并且有一个不变的方差。我们的目标不仅是参数估计，而且包括假设检验（hypothesistesting），

2、因此，就有必要规定ui的概率分布。OLS估计量和都是ui的线性函数，ui是随机的，所以，和的概率分布将依赖于ui的假定的概率分布。可以由下式说明：贵州财经大学经济研究所白万平教授§4.2正态性假定经典正态线性回归（theclassicalnormallinearregression）（CNLR）假定每个ui都是正态分布的，有：均值：（4.2.1）方差：（4.2.2）协方差：：（4.2.3）这些假定可以归结为：（4.2.4）N代表正态分布（normaldistribution）对于两个正态分布变量来说，零协方差和零相关就意味着两个变量互相

3、独立。贵州财经大学经济研究所白万平教授问：什么是相关？什么是独立？向量相关：是向量，存在不全为零的ki使得：，则相关。变量相关：X与Y相关：，则X与Y无关。独立：A、B是两个随机变量，，或，则A与B独立。说明，ui和uj不仅不相关，而且是相互独立地分布的。贵州财经大学经济研究所白万平教授如果两个随机变量在统计上独立，则两者的相关系数为零。但逆命题不一定成立，即，零相关并不意味着统计独立性。然而，当两个变量都是正态分布的时候，则零相关必然意味着统计独立性。于是，，可以写为：这里，NID表示正态且独立分布（normallyandindepe

4、ndentlydistributed）。为什么要做正态性假定？理由有四条：1．Ui的正态性由中心极限定理作保证。在回归模型中，ui代表许多被忽略的自变量的总影响。贵州财经大学经济研究所白万平教授中心极限定理（centrallimittheorem）说明，如果存在大量独立且相同分布的随机变量，那么，除了少数例外情形，随着这些变量的个数无限地增大，它们的总和将趋向正态分布。中心极限定理为ui的正态性假定提供了理论基础。大数定理：在大量随机现象中，无论个别随机现象的结果如何，或者它们在进行过程中的个别特征如何，大量随机现象的平均结果实际上与每

5、一个个别随机现象的特征无关，并且几乎不再是随机的了。切贝谢夫定理：（以确切的数学形式表达了大数定律的内容）设是相互独立的随机变量，它们各有数学期望及方差并对所有i=1,2,…有，其中L是与无关的常数，则任给，有：贵州财经大学经济研究所白万平教授意思是：在定理的条件下，当n充分大时，n个独立随机变量的平均数这一随机变量的离散程度是很小的。即，经过算术平均以后得到的随机变量，将比较密集地聚集在它的数学期望的附近，它与数学期望之差，当时，依概率收敛到0。中心极限定理：如果每一项偶然因素对总和的影响是均匀的、微小的，即没有一项起特别突出的作用，

6、那么就可以断定这些大量独立的偶然因素的总和是近似地服从正态分布的。李雅普诺夫定理（Liapunovtheorem）：（提供了中心极限定理的数学形式）。设是相互独立的随机变量，贵州财经大学经济研究所白万平教授有期望及方差，若每个对总和影响不大，令，则：定理的实际意义：如果一个随机现象由众多的随机因素所引起的，每一因素在总的变化里起着不显著的作用，就可以推断，描述这个随机现象的变量近似地服从正态分布。2.大数定律和中心极限定理说明，即使变量个数并不是很大，或者这些变量还不是严格独立的，它们的总和仍然可视同正态分布。贵州财经大学经济研究所白万

7、平教授3.正态分布的一个性质是，正态分布变量的任何线性函数都是正态分布的。因此，在ui的正态假定下，OLS估计量和也都是正态分布的。4.正态分布是一个比较简单的、仅涉及两个参数（均值和方差）的分布，它有良好的统计性质。§4.3在正态性假定下OLS估计量的性质1．它们是无偏的。（已证）2．它们有最小方差。（已证）既是无偏的，又有最小方差的估计量称为最小方差无偏的（minimum-varianceunbiased）,也称为有效估计量（efficientestimators）。3．它们满足一致性（consistency）。即随着样本容量的增大

8、，估计量会收敛到它们的真值，。贵州财经大学经济研究所白万平教授4．是正态分布的均值：（4.3.1）方差：：（4.3.2）即：如果定义：（4.3.3）则变量服从标准正态分布（standardizednorma