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1、2双因子方差分析2.1双因子试验当试验条件中涉及到两个因子时，就称为双因子试验。设A为一个因子，有I个水平：Ai,i=1,L,I；B为另一个因子，有J个水平：Bj,j=1,L,J。在设计试验方案时，一个重要问题是如何将两个因子的水平搭配起来。首先，可以考虑每个因子（A或B）的不同水平对试验结果分别会有影响。其次，两个因子不同的水平组合会有特殊的影响（并不是两个因子水平分别影响的简单叠加）。在这种情况下，为对各种可能的结果作全面考察，应该对两个因子所有可能的水平组合作试验。这样的试验就是双因子交叉分组试验。交叉分组试验是最常
2、见的一种双因子试验。将A因子的任一水平Ai与B因子的任一水平Bj搭配，则总共有IJ种组合：(Ai,Bj),i=1,L,I;j=1,L,J.在所有这IJ种组合上至少各作一次试验。例如，假定要在一些试验小区内试验三个小麦品种（分别记为A1、A2和A3）和两种肥料（分别记为B1、B2），在同一个小区上只种一个品种，同时只施一种肥料。这样，“品种”和“肥料”就构成两个因子，前者有三个水平，后者有两个水平。这两个因子的所有可能的水平组合共有3´2=6种：(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),
3、(A3,B2)。如果在每种水平组合上作相同次数的试验（run），则整个试验方案称为是“均衡的”。与单因子试验的情况不同，在双因子交叉分组试验中，若试验方案不均衡，则方差分析会变得比较困难，我们在以后的章节中再来讨论这个问题。对于均衡的试验，为保证能分析随机误差，在每个水平组合上应作多于一次的试验，称为“有重复”的。如果在每个水平组合上只作一次的试验，则称为“无重复”的。对于无重复的交叉分组试验，只有在模型简化之后，才能留有“自由度”来分析误差。另一种双因子试验的水平组合方式是“嵌套分组”，有时也会遇到。假定因子A和因子B如
4、上所述，且I£J，可以将因子B的水平“嵌套”到因子A的水平中去：将因子B的J个水平分成I组，因子A的每个水平只和因子B的一组水平搭配。例如，假定有三种类型的机器，每类4台。要通过试验来比较不同类型机器的性能的优劣，安排12个工人，每人在试验中操作一台机器。这里机器的类型是一个（主要的）因子，有三个水平。假定工人的技术水平（或熟练程度）有差别，则工人是另一个（次要的）因子，有12个水平（工人）。这12个水平分成3组，每组4个水平。机器的每个水平只和工人中的一组进行搭配。这是一个“嵌套分组”的水平组合模式。嵌套分组的试验在实际
5、中较为少见。2.2双因子均衡有重复试验的方差分析设A为一个因子，有I个水平：Ai,i=1,L,I；B为另一个因子，有J个水平：Bj,j=1,L,J。将A因子的任一水平Ai与B因子的任一水平Bj搭配，则总共有IJ种组合：(Ai,Bj),i=1,L,I;j=1,L,J.在所有这IJ种组合上各作K次试验，当K>1时，就是均衡有重复试验。设在水平组合(Ai,Bj)下所得到的响应变量观测值记为yijk，k=1,L,K,i=1,L,I,j=1,L,J这些观测数据可以列入表2.2.1中。表2.2.1双因子交叉分组试验数据表AB1⋯j⋯J
6、1y111,y112,⋯,y11K⋯y1j1,y1j2,⋯,y1jK⋯y1J1,y1J2,⋯,y1JK⋯⋯⋯⋯⋯⋯iyi11,yi12,⋯,yi1K⋯yij1,yij2,⋯,yijK⋯yiJ1,yiJ2,⋯,yiJK⋯⋯⋯⋯⋯⋯IyI11,yI12,⋯,yI1K⋯yIj1,yIj2,⋯,yIjK⋯yIJ1,yIJ2,⋯,yIJK在双因子试验中得到的数据称为“按两种方式”（two-way）分组的数据。对这样的数据，最一般的假定是：在同一水平组合下的数据可以看成是取自同一总体的简单样本，相当于在一个理论均值上加上独立同分布的随
7、机误差；而不同水平组合下的数据的理论均值是不同的。因此可以建立如下的模型：yijk=mij+eijk,k=1,L,K;i=1,L,I;j=1,L,J.(2.2.1)其中eijk,k=1,L,K;i=1,L,I;j=1,L,J为独立的随机误差，服从相同的正态分布2N(0,s)。在模型(2.2.1)中，两个因子不同水平的组合对响应变量的影响的差异表现在分布的理论均值mij之间的差异上。为了更清楚地看清mij之间差异的含义，我们将它们作变换，重新表为mij=m+ai+bj+gij,(2.2.2)在上述表达式中，m表示响应变量y在
8、“标准”状态下的理论均值，称为“总均值”（grandmean），a表示A因子的第i水平对y的单独效果，称为A因子的i“主效应”（maineffect），bj表示B因子的第j水平对y的单独效果，称为B因子的主效应，gij表示A因子的第i水平和B因子的第j水平在主效应之外，对y所产生的额外的联合效果，称为“
