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1、离散数学第三章命题逻辑的推理理论1本章说明本章说明ß本章的主要内容–推理的形式结构–自然推理系统Pß本章与后续各章的关系–本章是第五章的特殊情况和先行准备2ß3.1推理的形式结构ß3.2自然推理系统Pß本章小结ß习题ß作业3推理（规则）结论前提多条一条43.13.1推理的形式结构推理的形式结构ß数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究推理。ß推理是指从前提出发推出结论的思维过程。ß前提是已知命题公式集合。ß结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。ß证明是描述推理正确或错误的过程。ß要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效
2、的或正确的。5关于有效推理的说明–由前提A1，A2，…，Ak推结论B的推理是否正确与诸前提的排列次序无关。–Γ＝{A1，A2，…，Ak}由Γ推B的推理记为Γ┣B若推理是正确的，记为Γ╞B若推理是不正确的，记为ΓBΓ┣B或{A1，A2，…，Ak}┣B为一种推理的形式结构6推理的形式结构推理的形式结构形式结构：前提：A,A,…,A12k结论：B形式一：设Γ={A1,A2,…,Ak}，记为Γ┣B形式二：A∧A∧…∧A→B12k当推理正确时，ß形式（1）记为Γ╞B。说明ß形式（2）记为A∧A∧…∧A⇒B。12k⇒表示蕴涵式为重言式。
3、7有效推理的定义有效推理的定义–定义3.1设A1,A2,…,Ak和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,Ak和B中出现的命题变项的任意一组赋值，–（1）或者A1∧A2∧…∧Ak为假;（2）或者A1∧A2∧…∧Ak为真时,B也为真;–则称由前提A1,A2,…,Ak推出B的推理是正确的，并称B是有效结论。8有效推理的等价定理有效推理的等价定理定理3.1命题公式A1,A2,…,Ak推B的推理正确当且仅当(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式。说明ß该定理是判断推理是否正确的一种方法。9关于有效推理的说明ß设A1，A2，…，Ak，B中
4、共出现n个命题变项，对于任何一组赋值α1α2…αn(αi=0或者1，i=1,2,…,n)，前提和结论的取值情况有以下四种：(1)A1∧A2∧…∧Ak为0，B为0。(2)A1∧A2∧…∧Ak为0，B为1。(3)A1∧A2∧…∧Ak为1，B为0。(4)A1∧A2∧…∧Ak为1，B为1。ß只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。ß推理正确，并不能保证结论B一定为真。ß前提不正确，不论结论正确与否，推理都正确。10判断推理是否正确的方法ß真值表法ß等值演算法ß主析取范式法说明
5、ß当命题变项较少时,这三种方法比较方便。11例题例题–例3.1判断下列推理是否正确。（真值表法）(1){p,p→q}├q正确(2){p,q→p}├q不正确pqp∧(p→q)qp∧(q→p)q00000001010110001011111112例题例题例3.2判断下列推理是否正确。（等值演算法）（1）下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电影，所以，她去游泳了。解：设p:马芳下午去看电影，q:马芳下午去游泳。前提：p∨q，┐p结论：q推理的形式结构：((p∨q)∧┐p)→q((p∨q)∧┐p)→q⇔┐((p∨q)∧┐p)∨q⇔(
6、(┐p∧┐q)∨p)∨q由定理3.1可知，⇔((┐p∨p)∧(┐q∨p))∨q推理正确。⇔(┐q∨p)∨q⇔131例题例题例3.2判断下列推理是否正确。（主析取范式法）（2）若今天是1号，则明天是5号。明天是5号，所以今天是1号。解：设p：今天是1号，q：明天是5号。前提：p→q，q结论：p推理的形式结构：(p→q)∧q→p(p→q)∧q→p主析取范式不含m故1，⇔(¬p∨q)∧q→p不是重言式（01是成⇔¬((¬p∨q)∧q)∨p假赋值），所以推理不正确。⇔¬q∨p⇔(¬p∧¬q)∨(p∧¬q)∨(p∧¬q)∨(p∧q)⇔
7、m∨m∨m14023判断推理是否正确的方法思考ß是否有其他的证明方法？ß自然推理系统15推理定律--重言蕴含式推理定律--重言蕴含式(1)A⇒(A∨B)附加律(2)(A∧B)⇒A化简律(3)(A→B)∧A⇒B假言推理(4)(A→B)∧┐B⇒┐A拒取式(5)(A∨B)∧┐B⇒A析取三段论(6)(A→B)∧(B→C)⇒(A→C)假言三段论(7)(A↔↔B)∧(B↔↔C)⇒(A↔↔C)等价三段论(8)(9)不用16关于推理定律的几点说明关于推理定律的几点说明ßA,B,C为元语言符号，代表任意的命题公式。ß若一个推理的形式结构与某条
8、推理定律对应的蕴涵式一致，则不用证明就可断定这个推理是正确的。ß2.1节给出的24个等值式中的每一个都派生出两条推理定律。例如双重否定律A⇔¬¬A产生两条推理定律A⇒¬¬A和¬¬A⇒A。ß由九条推理定律可以产生九条推理规则,它们构成了推理系统中的推理规则。173.2自然推理系统Pß判断推理
