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1、第三章命题逻辑的推理理论推理的形式结构自然推理系统P关于“推理”推理：指从前提出发推出结论的思维过程，前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1)正项级数收敛当且仅当部分和上有界.(2)若AÈCÍBÈD，则AÍB且CÍD.推理:从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明:描述推理正确或错误的过程.推理的形式结构定义设A1，A2，…，Ak，B都是命题公式,若对于A1，A2，…，Ak，B中出现
2、的命题变项的任意一组赋值，A1ÙA2Ù…ÙAk均为假，或当A1ÙA2Ù…ÙAk为真时,B也为真,则称由A1,A2,…,Ak推B的推理正确,并称B是有效的结论；否则推理不正确（错误）.说明（1）：由前提A1，A2，…，Ak推结论B的推理是否正确与诸前提的排列次序无关。因而前提中的公式不一定是序列，而是一个有限公式集合，记为Г。可将由Г推B的推理记为Г┞B，若推理是正确的，则记为Г
3、=B，否则记为Г
4、B。这里可以称Г┞B和{A1，A2，…，Ak}┞B为推理的形式结构。说明（2）设A1，A2，…，Ak，B中共出现n个命题变项，对于任一组赋值a1
5、a2…an（ai＝0或1，i＝1，2，…n），前提和结论的取值情况有以下四种：（1）A1ÙA2Ù…ÙAk为0，B为0；（2）A1ÙA2Ù…ÙAk为0，B为1；（3）A1ÙA2Ù…ÙAk为1，B为0；（4）A1ÙA2Ù…ÙAk为1，B为1。由定义可知，只要不出现（3）中的情况，推理就是正确的，因而判断推理正确与否，就是判断是否会出现（3）中的情况。例3.1判断下列推理是否正确（1）{p，p®q}┞q（2）{p，q®p}┞q解：只要写出前提的合取式与结论的真值表，看是否出现前提为真，而结论为假的情况即可。由下面真值表可看出，（1）推理正确，（2
6、）推理不正确。pqpÙ（p®q）q0000010110001111pqpÙ（q®p）q0000010110101111定理3.1命题公式A1，A2，…，Ak推B的推理正确当且仅当：（A1ÙA2Ù…ÙAk）®B为重言式。证明：必要性若命题公式A1，A2，…，Ak推B的推理正确，则不会出现A1ÙA2Ù…ÙAk为真，而B为假的情况，因而在任何赋值下，蕴涵式（A1ÙA2Ù…ÙAk）®B均为真，故为重言式。证明：充分性若蕴涵式（A1ÙA2Ù…ÙAk）®B为重言式，则对于任何赋值此重言式均为真，因而不会出现前件为真后件为假的情况。即在任何赋值下，或者A
7、1ÙA2Ù…ÙAk为假，或者A1ÙA2Ù…ÙAk和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。分析：由定理3.1可知，可以将由前提A1,A2,…,Ak推B的推理的形式结构{A1ÙA2Ù…ÙAk}┞B转换成蕴涵式（A1ÙA2Ù…ÙAk）®B推理前提的合取式成了蕴涵式的前件，结论成了蕴涵式的后件，并将推理正确{A1ÙA2Ù…ÙAk}
8、＝B转换成A1ÙA2Ù…ÙAkÞB其中Þ是一种元语言符号，表示蕴涵式为重言式。判断推理是否正确的方法真值表法等值演算法主析取范式法构造证明法说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便,此时采用形式结构“A1
9、ÙA2Ù…ÙAk®B”.而在构造证明时，采用“前提:A1,A2,…,Ak,结论:B”.例3.2判断下面推理是否正确解上述类型的推理问题，首先应将简单命题符号化。然后分别写出前提、结论、推理的形式结构，接着进行判断。（1）设p：a能被4整除q：a能被2整除前提：p®q，p结论：q推理的形式结构：（p®q）Ùp®q可知此推理正确，即（p®q）ÙpÞq。（1）若a能被4整除，则a能被2整除。a能被4整除，所以a能被2整除。（2）若a能被4整除，则a能被2整除。a能被2整除，所以a能被4整除。（2）设p：a能被4整除q：a能被2整除前提：p®q，q
10、结论：p推理的形式结构：（p®q）Ùq®p可知上式不为重言式，所以此推理不正确，即（p®q）Ùp>q。（3）下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电影。所以，她去游泳了。（3）设p：马芳下午去看电影q：马芳下午去游泳前提：pÚq，ØpÙ结论：q推理的形式结构：（（pÚq）ÙØp）®q用等值演算法可知上市为重言式，所以，推理正确。（4）若下午气温超过30度，则王小燕必去游泳。若她去游泳，她就不去看电影。所以，若王小燕没去看电影，下午气温必超过了30度。（4）设p：下午气温超过30度q：王小燕去游泳r：王小燕去看电影前提：p®q，q®Ør结论：
11、Ør®p推理的形式结构：（（p®q）Ù（q®Ør））®（Ør®p）用主析取范式法可知上式不是重言式，所以推理不正确。重要的推理定律（重言蕴涵式）AÞ(AÚB)附加律(AÙB)ÞA
