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1、ddd1.1给定三个矢量A、B和C如下：ddddddddddAeee=+−23，B=−ee4+，Cee=−52，xyzyzxzddddddd求：（1）e；（2）AB−；（3）A⋅B；（4）θ；（5）A在B上的分量；AABdddddddddddddd（6）AC×；（7）A⋅×()BC和(A×BC)⋅；（8）(A×BC)×和A××()BC。ddddddAeeexyz+−2312dd3解：（1）ee==d=+e−eAxyz12(322)2141414A++−dddddddddd（2）ABeee−=+−−(23)(
2、−+=+−=ee4)eee6453xyzyzxyzddddddd（3）ABee⋅=+−⋅−+=−(23e)(e4)e11xyzyzddAB⋅−1111（4）由cosθAB==dd=−，得AB14×1723811aθ=−=arccos()135.5AB238ddddddAB⋅11（5）A在B上的分量AA==cosθd=−BABB17dddeeexyzddddd（6）AC×=12−=−−3e4e13−e10xyz502−dddeeexyzddddd（7）因为B×=Ce041852−=++ee0，xyz502−d
3、ddeeexyzdddddAB×=123−=−−−e10ee4xyz041−ddddddddd所以，ABCee⋅×=+−⋅++()(23e)(eee8520)4=−2xyzxyzdddddddd()(1ABC×⋅=−−−⋅−=e0ee4)(ee52)4−2xyzxzdddeeexyzdddddd（8）()ABC××=−−−=−+101424ee0e5xyz502−dddeeexyzddddddABC××=()1235−=−−e54e4e11xyz85201.2三角形的三个顶点为P(0,1,2)−、P(4,1
4、,3)−和P(6,2,5)。123（1）判断ΔPPP是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。123解：（1）三个顶点P(0,1,2)−、P(4,1,3)−和P(6,2,5)的位置矢量分别为123dddddddddddree=−2，reee=+−43，reee=62++51yz2xyz3xyzddddddddddd则R=rree−=−4，R=−=++rreee28，1221xz2332xyzddddddR=−=−−−rreee673113xyzddddddd由此可得RReeeee⋅=−⋅++=(4)(28)
5、01223xzxyz所以，ΔPPP为一直角三角形。123111dddd（2）三角形的面积SRRRR=×=×=×=176917.1312231223222dd1.3求点P'(3,1,4)−到点P(2,2,3)−的距离矢量R及R的方向。解：点P'(3,1,4)−和点P(2,2,3)−的位置矢量分别为ddddddddreee=−34++，reee=22−+3P'xyzPxyzddddddd则R==−=−−Rrree53eP''PPPxyzd且R与x、、yz轴的夹角分别为PP'dd⎛⎞==⎜⎟eRxP⋅'P⎛⎞5a
6、φarccosdarccos=32.31x⎜⎟⎜⎟R⎝⎠35⎝⎠PP'dd⎛⎞eRyP⋅'P⎛⎞−3aφ==arccos⎜⎟darccos=120.47y⎜⎟⎜⎟R⎝⎠35⎝⎠PP'dd⎛⎞==⎜⎟eRzP⋅'P⎛⎞−1aφarccosdarccos=99.73z⎜⎟⎜⎟R⎝⎠35⎝⎠PP'ddddddddd1.4给定两矢量Aeee=+−234和B=−+eee456，求它们之间的夹角和A在xyzxyzdB上的分量。dd222222解：A=++23(4−=)29，B=++=45677ddddddddABe⋅=
7、(2+−⋅−+e3e4)(4ee5e6)=−31xyzxyzdd故A与B之间的夹角为dd⎛⎞AB⋅−⎛⎞31aθ==arccos⎜⎟ddarccos=131AB⎜⎟⎜⎟AB⎝⎠29×77⎝⎠ddddB−31A在B上的分量为AA=⋅=d=−3.532BB77dddddddddddddd1.5给定两矢量Aeee=+−234和B=−−+eee64，求AB×在Ceee=−+xyzxyzxyz上的分量。dddeeexyzddddd解：AB×=234−=−+e132e21+e0xyz−−641ddddddddd(ABC
8、×⋅=−++)(e13e22e10)(⋅−+=eee)−25xyzxyzd222C=+1(1−+=)13dddddddd()ABC×⋅25所以，A×B在C上的分量为(AB×)=d=−=−14.43CC3dddddddddd1.6证明：如果A⋅BAC=⋅和A×BAC=×，则B=C。dddddddddd证：由ABAC×=×，得A××=××()(ABAAC)，即dddddddddddd()()()()A⋅−⋅=⋅−⋅B
