有限脉冲响应数字滤波器的设计(数字信号处理)

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1、第九章有限脉冲响应数字滤波器的设计9.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。1.线性相位条件对于长度为N的h(n)，传输函数为(9.1.1)(9.1.2)式中，Hg(ω)称为幅度特性，θ(ω)称为相位特性。注意，这里Hg(ω)不同于

2、H(ejω)

3、,Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值，而

4、H(ejω)

5、总是正值。H(ejω)线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数，即θ(ω)=τω,τ为常数(9.1.3)如果θ(ω)满足下式：θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位(9.1.4)严格地说，此时θ(ω)不具有线性

6、相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即也称这种情况为线性相位。一般称满足(9.1.3)式是第一类线性相位；满足(9.1.4)式为第二类线性相位。下面推导与证明满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即h(n)=h(N-n-1)(9.1.5)满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即h(n)=-h(N-n-1)(9.1.6)(1)第一类线性相位条件证明：将(9.1.5)式代入上式得令m=N-n-1,则有(9.1.7)按照上式可以将H(z)表示为将z=ejω代入上式，得到：按照(9.1.2)式，幅度函数Hg(ω)和

7、相位函数分别为(9.1.8)(9.1.9)(2)第二类线性相位条件证明：(9.1.10)令m=N-n-1,则有同样可以表示为因此，幅度函数和相位函数分别为(9.1.11)(9.1.12)2.线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点1)h(n)=h(N-n-1),N=奇数按照(9.1.8)式，幅度函数Hg(ω)为式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数表示为令m=(N-1)/2-n,则有(9.1.13)(9.1.14)式中按照(9.1.1

8、3)式，由于式中cosωn项对ω=0,π,2π皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对ω=0,π,2π是偶对称的。2)h(n)=h(N-n-1),N=偶数推导情况和前面N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg(ω)中没有单独项，相等的项合并成N/2项。3)h(n)=-h(N-n-1),N=奇数将(9.1.11)式重写如下：令m=N/2-n,则有(9.1.15)(9.1.16)4)h(n)=-h(N-n-1),N=偶数类似上面3)情况，推导如下：令m=(N-1)/2-n，则有(9.1.17)(9.1.18)令m=N/2-n,则有(9.1.19)(9.1.20)3.线性相位FIR滤波器零

9、点分布特点第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足(9.1.7)式和(9.1.10)式，综合起来用下式表示：(9.1.21)图9.1.1线性相位FIR滤波器零点分布4.线性相位FIR滤波器网络结构设N为偶数，则有令m=N-n-1,则有(9.1.22)如果N为奇数，则将中间项h［(N-1)/2］单独列出，(9.1.23)图9.1.2第一类线性相位网络结构图9.1.3第二类线性相位网络结构9.2利用窗函数法设计FIR滤波器设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ejω),hd(n)是与其对应的单位脉冲响应，因此相应的单位取样响应hd(n)为(9.2.1)(9.2.2)为了构造一个长度为N

10、的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示，即h(n)=hd(n)RN(n)(9.2.3)我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为H(z)，图9.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗以上就是用窗函数法设计FIR滤波器的思路。另外，我们知道Hd(ejω)是一个以2π为周期的函数，可以展为傅氏级数，即对(9.2.3)式进行傅里叶变换，根据复卷积定理，得到：(9.2.4)式中，Hd(ejω)和RN(ejω)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即(9.2.5)RN(ω)称为矩形窗的幅度函

11、数；将Ha(ejω)写成下式：按照(9.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd(ω)为将Hd(ejω)和RN(ejω)代入(9.2.4)式，得到：将H(ejω)写成下式：(9.2.6)图9.2.2矩形窗对理想低通幅度特性的影响通过以上分析可知，对hd(n)加矩形窗处理后，H(ω)和原理想低通Hd(ω)差别有以下两点：(1)在理想特性不连续点ω=ωc附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN(ω)主瓣宽度，即4π/N。(2)通带内增加了波动，最大的峰值在ωc-2π/N处。阻带内产生了余振，最