1.1 线性空间

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1、第1章线性空间和线性变换1.1线性空间线性空间是定义在特定数域上的。什么是数域？定义定义11设设FF是一个包含一个数集，0,10的数集，且若F1FF中的任两个数的和、差、积、商（除数为,FF0外）仍在FF中（即F对这封闭些运算封闭），则称FF为一数域。F(0)则称F是一个数域。实数域R复数域C有理数域Q工程数学沈阳航空航天大学线性空间的定义定义2设V是一个非空集合,F是一个数域，在V上定义了加法运算，即,F存在唯一的V与之对应，称为与的和，并记为=+，且这种加法运算

2、满足以下4条规则：1)；2)()()；3)存在零元0V，使V，有+0=；4)V，存在负元V，使得+=0，记=－工程数学沈阳航空航天大学在集合V和数域F之间还定义了一种数乘运算，即kF,V，存在唯一的V与之对应，称为k与的数乘，记为=k，且数乘运算满足以下4条规则，即kl,F,,V5)1·=；6)k(l)=(kl).7)(k+l)=k+l;8)k(+)=k+k.称定义了加法运算和数乘运算且满足以上8条法则的集合V为

3、数域F上的线性空间或向量空间，称V中的元为向量。工程数学沈阳航空航天大学例题1.实数域R上多项式全体P(t)，次数不超过n的多项式全体Pn(t)，按多项式加法和数乘运算构成实线性空间。数域P上的如下多项式集合是否构成线性空间？{p(x)

4、p(x)=a0+a1x+…+anxn,an0}2.定义在闭区间[a,b]上的实值连续函数全体构成的集合C[a,b]，按函数的加法和数乘运算构成线性空间。工程数学沈阳航空航天大学练习全体正实数R，加法和数量乘法定义为：ababkkaa工程数学沈阳航空航天大学线性组合定义3设{1,2,

5、…,m}为线性空间V中向量组，若向量=k11+k22+···+kmm则称为向量组1,2,…,m的一个线性组合，或称可由1,2,…,m线性表出。工程数学沈阳航空航天大学线性相关定义4设{1,2,…,m}为线性空间V中向量组，若存在一组不全为零的数k1,k2,···,km,使k11+k22+···+kmm=0(1)则称向量组{1,2,···,m}线性相关。若等式(1)只有在k1=k2=···=km=0时才成立，则称线性无关定理1设线性空间V中的向量组{1,···,m}线性无关，且向量组{

6、,1,···,m}线性相关，则可由1,···,m唯一地线性表出。工程数学沈阳航空航天大学基、维数与坐标定义5设在数域F上线性空间V中有n个线性无关的向量1,···,n，且V中任何一个向量都可由{1,···,n}线性表出=k11+k22+···+knn则称{1,···,n}为V的一个基，k=[k1k2···kn]T为在基{1,···,n}下的坐标。此时称V为n维线性空间，记作Vn。记维数为dim(V)工程数学沈阳航空航天大学可以被基1,2,…,n线性表出：k1k=k+k+

7、…+k(,,,)21122nn12nkn工程数学沈阳航空航天大学例题实数域R上多项式全体P(t)——无限维向量组{1,t,···,tN-1}——基N→∞次数不超过n的多项式全体Pn(t)——n+1维向量组{1,t,···,tn}——基工程数学沈阳航空航天大学工程数学沈阳航空航天大学基例1在线性空间P2(t)中，{1,t,t2}是3个线性无关向量922p(t)4t7t91tt7基4不同p(t)在基{1,t,t2}下的坐标为[9-74]T则坐标{t+1,t+2,t2}是另

8、一组基不25同22p(t)4t7t9t1t2t164p(t)在基{t+1,t+2,t2}下的坐标为[-25164]T基变换与坐标变换在n维线性空间中，任意n个线性无关的向量都可以作为线性空间的基，即空间的基不唯一.不同的基，同一个向量的坐标一般是不同的。上面的例子已经说明了这一点。我们要研究的问题是，随着基的改变，向量的坐标是怎样变化的。工程数学沈阳航空航天大学基变换设{1,2,…,n}与{1,2,…,n}是V中两组基，则有基变换公式1p111p212pn1n

9、2p121p222pn2nnp1n1p2n2pnnn新基p旧基pp11121nppp[,,,][,,,,,,],21,22,P2n12n1122n