线性空间习题

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1、线性空间习题所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1．次数等于解：不构成。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式。例如的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；解：构成.令

2、为实系数多项式，是实矩阵}则有由于矩阵的加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条规则，故2．设是一个构成线性空间。实矩阵，的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；的实系数多项式3．全体解：构成。因为实对称(反对称，上三角，下三角）之和、之倍数仍为实对称(反对称，上三角，下三角），故做成线性空间。级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量

3、乘法；4．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；解：不构成。例如，以那个已知向量为对角线的任意两个向量，它们的和不属于这个集合。5．全体实数的二元数列，对于下面定义的运算解：构成。6．平面上的全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：解：不能构成。因为，不满足规则5。7．集合与加法同6）数量乘法定义为：解：不能构成。因为8．全体正实数，加法与数量乘法定义为：解：能构成。显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，且满足八条规则。求下列线性空间的维数与一组基9．数域解：上的空间的元素为于

4、是是令维，基是10．解：i)令，其余都是零，所以是中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间是对称矩阵所成空间的一组基，维的。ii)令，其余均为零,所以它是是反对称阵所成空间的一组基，维的。iii)令所以是是上三角阵所成空间的一组基，维。11．第3题8）中的空间解：数1是“零”元，任一不等于1的正实数都是线性无关的向量，取空间一非“零”元，例如，取2，对于任一正实数，所以此空间是一维的，2是一组基，或者说，任意非“零”元都可作可经2线性表出。的基。12．实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间，其中解：因为所

5、以而下证令线性无关。即其系数行列式故方程只有零解：线性无关，由它们作基，构成三维线性空间。在中，求由基到基的过渡矩阵，并求向量在所指基下的坐标.设13．在下的坐标；解：14．在解：令下的坐标；由前式得代入后一式得15.证明：实数域作为它自身上的线性空间与第3题8）中的空间同构。证：因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。16.设,都是线性空间的子空间，且证明：如果的维数和的维数相等，那么。证：设所以也是的一组基，且它们的维数相等，因为，可找到一组基17.设1)证明：全体与2)3)记作的一子空间，可交换的矩阵组成时，求时

6、，求的维数和一组基。证：1)全体与A可交换的矩阵的集合记为构成子空间。2)3)设为可与交换的矩阵，由第四章习题5可知，只能是对角矩阵，故维数为;时，为一组基。18.证明：和证：必要性：，所以充分性（反证法）：设（1）不是直和，那么零向量还有一个分解式：是直和的充要条件是其中，在式（1）中设最后一个不为零的向量是，这时因此那么式（1）变为，又，这与矛盾。19.设求解：设与可交换，即可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。中全体与得由对应元素相等，得(1)方程组(1)的系数矩阵秩为2，解空间维数为5。与其一组基由上面得到可经可

7、交换的矩阵为表示，20.求由下列向量生成的子空间的交的基与维数。设解：设交的向量则有即(1)算得且方程(1)的解空间维数为1，交的维数也为1。任取一非零解，即它们的交为得交的一组基：，是一维的，就是一组基。21.设与分别是齐次方程组与的解空间，证明：证：由的解空间是取基为维，即其系数矩阵因此解空间是一维的，令基为(1)故向量(1)是中任意元可经向量组(1)表示，从而的一组基。取