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1、系统科学与数学,一多目标规划的理想点法应玫茜引言。,。‘,,,假定是维欧氏空间的子集在上有个目标函数幻⋯,,,对每个份事先规定了一个理想值产例如产一幻一般而言不一定存劣〔,‘,,,,牙,在〔尤使产一⋯但我们可以求得牙〔使向量,,,,劝⋯任和向量产⋯黔尽量地接近这时可以通过求解。‘‘,艺〔幻一月苦七‘,,,,,‘一,,其中为根据凡幻的重要程度而决定的权系数艺一‘“‘⋯亡,又,一,一,,,牙如不能比较幻之间的重要程度则取⋯得到最优解解这,牙〔种类型的方法一般简称之为理想点法易证是多目标问题的有效解即不存在,,,,,使《劝⋯,且在不等式中至少有一个取严格的不等号由,此可见求与多目标规划理
2、想点距离最近的点问题可归结为求带约束集合的最小平方和问题,在文【中我们曾给出两个不同的带约束最小平方和的解法在解法中有两个问,,题值得进一步考虑一是迭代的初始点是否必须取自约束集当约束条件较复杂时要找出一个真正的可行解来往往是很困难的二是迭代中要求单变量问题的最优解往往是很,,,困难的工作量很大是否可用某种近似解来代替最优解使工作量大大减少且不影响方,,法的收敛性本文给出一个解法解决了上述两个问题且在与类似的假设下证明了它的收敛性解法考虑下述最小平方和问题,气百尸,圣‘、哭翌艺玲。,,,一〔,幻》⋯假设,,。,,,,丸幻⋯幻一⋯有一阶连续偏导数尺,二,,,,有界内点集及幻⋯非空一二
3、,,⋯为凸函数年月月收到应玫茜卷,为方便起见引人下述符号二,。,,办⋯,,,,‘,⋯二二。口,,口。,口。二。口口。。‘⋯。口幻一二口,幻。·二,一,艺番为欧氏模引人罚函数一二一,,,,、。币、,粤夕于二几其中妻为参数,,设为对称正定矩阵任意取定考虑二次正定规划、。二二二二,二,,扮阮粤、了、、艺,,二二二鑫,尸,尸,由假设易证的约束集非空由知的最优解一定存在且唯一,,在第左次迭代时取定矩阵满足。’,’,镇。,“。,。,,其中与为任意取定的与友无关的常数例如取一衬为单位矩阵在迭代前先取定下列参数①取一适当大的罚参数②取适当小的罚函数单变量问题最优解的搜索区间长夕,。,,③取定罚函数
4、最小值允许误差数要求艺迭代步骤”。任取初始点〔令七“,,,设已知户求产砂的最优解砂若砂一则迭代停止砂即为所求若多目标规划的理想点法。,砂笋则求从使币、互又,互镇价、七几无。,孟‘月左,左几,把,,“令友一左转人的开始、收敛性,,,首先为要说明步骤中从的存在性必须证明当砂沪。时中试幻在护处沿方向砂的方向导数从了,左一】,左、从厂,交、价,左一呀产八丁几,峥声内尹沪八,、、,孟‘十兄,几,这时当充分小时就有币毛几七价、二反,因此可以在孟一适当小的邻域内找出从为此证明下述引理,,“。,,一引理在假设之下设〔满足的条件二,“。,,,,,简称为点若笋⋯则价、—二证由方向导数的性质可知二、,二
5、,币、二一一‘,二一习劣“二,二一幻一见。二,一二,,见窟,作的参函数,“二二甲二二,一,。一已知满足条件,二丁二丁劣二,劣。二,、通、、,一乙一一甲了份白八,夕、“二,婆一一甲。。“二,,“一一婆,由有幻幻一了,,幻劣二二勺“成一坛一艺幻了,￡,二,由当时有二,劣妻一,,,“,,,故由当镇⋯时应玫茜卷币认以二二,二勺一艺了,夕男·成一“,,‘”艺户证毕引理设尹为二次规划。,,,,,二,,歹、一粤、、名‘一‘,,,,的最优解若存在广使广一则必存在尹当‘‘‘,一卜一卜户一尸卜一镇,时有‘,一簇,乏,,,,定理在假设之下若的乘子好镇⋯对一切反成,牙立则或者经有限次迭代后得到问题印的点或
6、者在点列砂的极限点中若有使二,牙二集合任劝非空则此必为问题玲的点的分量左,,一,走,“互魂证设为的最优解由定理知存在乘子砂使,,二互,公,“左,,,,。,为尸花,的点即一砂一满足由此易七,无,七,花,“掩见若则满足问题印的条件即为问题的点。,三若砂笋对一切反成立由引理砂对一切友都存在设为砂的极限点使二牙,,集合劝抓》非空由的取法可不妨设左,,·一牙“,一‘“正定伙织牙,,二牙,名,“应,,,设叹云的点为幻则云满足牙,,若则任幻即为问题印的点牙尹由引理以及幻,,,,若人幻幻幻的连续性易见七民欠申。。,,,“丸,云由因《岭镇⋯对一切及成立故点列必有极限点设为,,云尸牙,知为云的点价,牙
7、死功试劝令设冤为任舫的最优解由引理知价试习《孟‘户二价,牙一币牙滋及无左牙,,因如众故对充分大的左有‘“’“材‘,、,‘”·、晋鞠钊一万,由产的取法当友充分大时有见以币、灸,币,“。,,由此得多目标规划的理想点法价。牙币,七‘。,‘中“又‘。,。,艺艺天二互一‘二‘、了一,、,、了丫中气、儿弋甲中又劣吮卜巾劣,久十丫十久一十,诫夕由此得出矛盾故牙证毕,,,。,。。二定理在假设之下设对称矩阵满足成尹毛,,〔,尸,,对一切笋设为有界闭集则存在使对任何的乘。子满足,,镇,《
