第7章初等模型

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1、第七章初等模型如果研究的问题或对象的机理比较简单，通常用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，基本上就可以用初等数学的方法构造和求解模型。本章通过椅子放稳、学生会代表名额分配、汽车的安全刹车距离、生猪体重的估计、核军备竞赛、使用新材料与新方法的房屋节能效果等问题，介绍用初等数学构造和求解模型的方法与技巧。需要说明的是，一个数学模型的好差在于其应用效果，不在于其使用了多么高深的数学方法与技巧。也就是说，一个问题可用初等数学构造和求解模型，也可用高等数学构造和求解模型，如果应用效果差不多，那么前者是好的。§7.1椅子能在不平的地面上放稳吗一、问题的提出这个问题来自日常生活中一件普通的事实

2、：把椅子往不平的地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。请用数学模型证明为什么能放稳。二、问题分析此问题与数学有关吗？由常识我们知道，椅子是不能在台阶上放稳的。同样地，如果地面某处凹凸太厉害，以至于凹凸的幅度超过椅腿的长度，椅子也不能放稳。所以椅子能在地面上放稳是指在相对平坦的连续地面上放稳。通常椅子有四条一样长的腿，四脚共圆；椅脚一般加工成较小的“面”，椅子在地面上放稳是四脚同时着地，而椅脚着地只要椅脚面上有一点与地面上一点接触就可以了。移动椅子有三种方法：旋转；平移；平移加旋转。其中旋转要设1个变量；平移要2个；平移加旋转要3个。为了简

3、单起见采用旋转法。如何旋转？由于四脚共圆，绕这个圆心旋转。三、假设1、四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚共圆；2、地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面；3、地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。四、建立模型以椅子移动前四脚所在的平面建立平面直角坐标系（见图7.1.1），使得四脚A、B、C、D共圆的圆心与坐标原点重合。用表示旋转，则四脚与地面的距离随的变化而变化，即四脚与地面的距离都是关于的一元函数，分别用、、、表示旋转后脚A、脚B、脚C、脚D与地面的距离。由假设2可知，、、、均为的连续函数。这时问题转化为：求，使。这是一个数学问题，如何解决？很容易让我们想到用连续函数的基本

4、性质解决，但面对4个函数不好直接证明，只能寻求转化。把4个函数变成2个函数，可以通过两对角线分别组合；对边分别组合；也可以一脚成一个函数，另三脚组合成一个函数。因此一般模型这样建立：对于四脚与地面距离有4个函数，旋转前不着地的几脚与地面距离之和记为，其它脚与地面距离之和记为。显然,是连续函数；对任意q，，且，。证明：存在，使。图7.1.1椅子四脚坐标图五、模型求解将椅子旋转，使。令，由,的连续性知连续，而且和。如果，那么，即椅子旋转后四脚同时着地。如果，那么。据连续函数的基本性质,必存在,使使,即使。因为,所以，即椅子从初始位置旋转后四脚同时着地。六、评注如果四脚呈正方形，通过两对角线分别组

5、合构造,；将椅子旋转而证明。如果四脚呈矩形，通过两对边分别组合构造,；将椅子旋转而证明。§7.2学生会代表名额分配一、问题的提出某高校一学院有3个系共1000名学生，其中甲系有500名，乙系300名，丙系200名。若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10，6，4个席位。丙系30名学生提出转系，经批准各有15名学生分别转到甲系和乙系。按学生人数的比例分配，三系分别应占有10.3，6.3，3.4个席位。但席位数只能是自然数！于是有比例加惯例的分配法：将取得整数的19席以10，6，3分配完毕后，三系同意剩下的一席分给比例中小数最大的丙系，于是三

6、系分别占有10，6，4席。因为有20席的代表会议在表决提案时可能出现10：10的局面，会议决定下一届增加1席。他们按照比例加惯例的分配法重新分配席位，三系分别占有11，7，3席。显然这个对丙系太不公平了，总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席。上述例子说明我们要找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立新的分配方法。二、问题分析我们先讨论A，B两方公平席位的情况。设两方人数分别为和，占有席位分别是和，则两方每个席位代表的人数分别为和，而且我们知道显然仅当时席位的分配才是公平的，但是因为人数和席位都是整数，所以通常是和并不相等，这时的席位分配不公平，并且数值较大的一方吃亏，或者说对这方不公平。三、

7、建立公平分配席位的指标不妨假设，则不公平程度可用数值描述不公平，它衡量是不公平的绝对程度，常常无法区分两种程度明显不同的不公平情况。为了改进上述绝对标准，自然想到用相对标准，即把定义为对A的相对不公平度。同样可定义为对B的相对不公平度。建立了衡量不公平程度的数量指标后，制定席位分配的方案的原则是使它们尽可能小。四、公平分配席位的方法假设A，B两方已占有和席，利用相对不公平度和讨论，当总席位增加一席时，应该分配