毕业论文-浅谈均值不等式在生活中的应用价值doc

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1、大学数学毕业论文(设计)_______________________________________________________________________________________________________浅谈均值不等式在生活中的应用价值[摘要]均值不等式是数学中一个重要的不等式，它的许多性质对解决数学问题都有很大的帮助，在现实生活中也有着广泛的应用.而且形式众多，主要体现在度量方面、造价销售方面、决策判断方面、足球射门等方面，只要我们善于思考，必将发现均值不等式在生活中有更多更广的应用价值.[关键词]均值不等式　平均数最值生活应用一、引言均值不等式是

2、数学中一个重要的不等式.它的许多性质对解决数学问题都有很大的帮助，在现实生活中也有着广泛的应用.可以说，均值不等式的发现、验证和应用也是数学文化的精髓所在.这对于我们来说是一项巨大的财富.但是我们要注意，求解最值时请一定要注意相等的条件，若多次利用均值不等式求解最值，则必须注意这些不等式等号成立的条件是否一致，只有在一致的条件下才有可能达到最值.二、均值不等式的有关概念与结论（一）几种平均数的概念这几种平均数在高中的课程中就已经有介绍了，分别为算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数.，它们的定义如下：定义一：若均为正数，我们就称为的算术平均数.定义二：若均为正数，我们

3、就称为的几何平均数.定义三：若均为正数，我们就称为的调和平均数.定义四:若均为正数，我们就称为的平方平均数.(二)均值不等式的重要结论均值不等式是不等式中比较重要的一类不等式，也是应用比较广的一类不等式，下面将给出一般的结论和常用的结论，以及均值不等式在求最值时实用的定理.均值不等式在数学中不同的地方有不同的具体形式，但是万变不离其宗，它们都是有规律可循的.第10页（共10页）大学数学毕业论文(设计)_________________________________________________________________________________________

4、______________对于上述四种平均数：算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数的大小比较，我们有一般的结论：,当且仅当时，不等式取“”号，这几个数依次为调和平均数、几何平均数、算数平均数、平方平均数.在实际解题中，和两种情况是最常见的，特阐述如下：当时，我们可以得到一个一般的二元均值不等式，通常写作.但是通常我们用的最多的是上述的变式，如；.特别地，当且仅当时，上述的“”才成立.当时，我们可以得到一个一般的三元均值不等式：，同二元均值不等式一样，也有变式如下：；；.特别地，当且仅当时，上述的“”才成立.有上述的一般结论和变式可以推得：当两个正数的和一定时，其其

5、乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值，我们称其为最值定理.三、利用均值不等式解决应用性问题第10页（共10页）大学数学毕业论文(设计)_______________________________________________________________________________________________________生活中经常遇到这样的问题，如为资源不能合理利用而发愁，因为不能做出合理的决策而伤脑筋等等问题，只要我们善于发现，这些问题就可以被均值不等式所征服.生活中有很多这样的问题都可以用均值不等式来解决，主要体现在度量方面、造价销售方面、

6、决策判断方面、足球射门方面，比如怎么合理地使用已知的材料去获得最大的需求，或者给出已知的要求怎么安排才能让使用材料最少，主要有关于度量、造价和销售方面的问题.（一）应用均值不等式解决度量类问题随着地球上人口越来越多，诸多的徒弟问题也接踵而来，如住房问题、资源问题等，怎样省钱，怎样合理的利用资源是当今要解决的问题。为了解决这些问题，运用均值不等式,你可以轻松得到合理的利用资源的方法.例1有个半径为的球形材料，现在我们想利用这个材料制作一个最大体积的正三棱锥工艺品（不得拼装），求这个工艺品的最大体积值.分析首先我们要把应用问题转化成数学模型，然后再用数学知识解决.解如图1，设球的

7、内接正三棱锥为，为其高，为底面的中心，则必须经过球心，延长交球于，设正的半径为.易知，，由圆的性质：所以,图1当且仅当，即时，取最大值.因此这个工艺品的最大体积值为.毫无疑问，本题利用了上述的结论3：如果，那么，当且仅当时，等号成立.不同的是，本题是三元的均值不等式，将第10页（共10页）大学数学毕业论文(设计)_________________________________________________________________________________________________