资源描述：
《浅谈均值不等式的教学.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数理浅谈均值不等式的教学岳阳县第四中学杨伟均值不等式是高中数学新教材第六章教学的重点，也是难点，它是证明不等式、解决求最值问题的重要工具，它的应用范围儿乎涉及高中数学的所有章节;它也是高考的热点，且常考常新。下面就均值不等式的应用及需要注意的几个问题举例说明一、均值不等式的应用(一)、通过特征分析，用于证不等式均值不等式：1)(我三2ab=ab(a,bER)2)三2j~ah^lab-{yjab(a,FO两端的结构、数字具有如下特征：1)次数相等；2)项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等；3)左和右积。当要证的不等式具有上述特征时，考虑用均值不
2、等式证明。例1己知a,bc为不全相等的正数，求证：a(b24-c2)-Pb(c+a2)4-c(a2-Pb2)>6aba分析：观察要证不等式的两端都是关于a,bc的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和右积，具备均值不等式的特征。证明：・.・b+M2bGa>ft・•・a&F)$2abc同理，b(c+a2)^2bac,c(a2W)2cab又Ta,bc不全相等，...上述三个不等式中等号不能同时成立，因此a(b~H-c?)-H)(c24a2)H-c(aM~b')>6aba(二)、抓条件“一正、二定、三等”求最值由均值不等式(2),推证出故值定理及其使用
3、的前提条件：“一止、二定、三相等”，求最值时，三者缺一不可。例2已知xyeFtfi9x4-16y=144求xy的最大值。分析：由题设一正：xyeFt,二定：9打16尸144求积的最大值，可考虑用均值不等式求解。解：XyeJt,■・•xy9xX16拓严+1®）2X—^61442144当且仅当9若=16%即口尸9/2时，（xy）吋=36例3某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x元（50WxW80）吋，每天销售的件数为厂岛，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元?解:由题意:利润H0)•岛=(X-50)•心0)2+2二50)+100
4、105（Z）+禺+20••(x—50)+100(X-50)1()'•:SW=2500,20+20当且仅当（兀-50）=100(x-50)即x=60或x=40（不合题意舍去）.答：当售价为60元时，每天获得的利润最多为2500元（三）、抓“当且仅当……等号成立”的条件，实现相等与不等的转化在均值不等式中“当且仅当……等号成立”的“当口仅当”是“充要条件”的同义词，它给出了相等与不等的界，是相等与不等转化的突破口。例4在AABC屮，若三边abc满足条件（汕虽）3W7abc,试判定三角形A0C的形状。分析：（aWc）3^7abQ具有三元均值不等式的结
5、构特征，•且属均值不等式的特例取等号情形)，所以有下面解法。解：•/aXib>QcXi故有不等式3labc(见阅读材料)，即(a-Fb+c)3227abc当且仅当a=4F=c时，上式等号成立，故三角形为等边三角形。例5已知xy,z为正实数，且时卄2F电-+-吐=3•求分七f的值。兀yz解：由题设得)+(y4^-)+(z4^-)=6xyzTx%zXl/.,4-三2,y+=L22,z-4-22兀yz•I.Odi)+(y4^-)+(z吐)26兀yz此不等式等号成立，当且仅当上述三个不等式的等号同时成立，即兀)'/.x=l,y=l,z2=l,.:x-
6、Fy+z2^说明：均值不等式给出了相等、不等的界，即等号成立的条件。总之，均值不等式成立的条件，结构特征，积、和为定值，等号成立的条件,是理解应用均值不等式的认知角度。同学们要学会观察已知和未知的结构特征、数字特征，认清其区别、联系，联想相关的知识点、方法，寻找解决问题的突破口。二、需谨防的几个误区(一)、忽视定理成立的前提条件例6求函数yj兀+4)("9)的最值。错解：Z“4)(x+9)仝，+13兀+36=]*理上]3+2启黑5XXXVX当且仅当X戲即"±6时取等号。X所以当x=±6时，y的最小值为25此函数没有最大值。分析：函数yzjx+4
7、)(X+9)的定义域为geo,0)U(Q*o),上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了均值不等式成立的条件，因而导致错误。正解：函数尸^+4)0+9)的定义域为~o,o)u(Q*o)+4)0+9)』+m+36_］卅屮636x—=12X当“0时，存$2x当且仅当X』即x=6时取等号。X所以当若=6时，Yni=25当x<0时，Q戲>0X36因为㈠d+4^)22J(-x)(-—)=12当且仅当它』即""时取等号。所以騎W—12所以当时，y1Ilx=13—12=1(―)、忽略了定值的选取例7当Q0时，求尸lx+2的最小值。JT错解：因为QQ尸lx+三
8、2~=xVJx所以当冃仅当4卑即分析：错误的原因是4x与2的积不是定值。0正解：因为QQy=4x3右二期站当且仅当2三，即JC舞时等号成立。Jfcin
