均值不等式教学设计

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1、均值不等式教材说明人教B版普通高中课程标准实验教科书（必修五）课题3.2均值不等式课型新授课课时2课时学情分析（一）从学生知识层面看：学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，在探究学习和应用实习的过程中，会解决最简单的关于不等式的问题.（二）从学生素质层面看：所任班级的学生已经具有较好的逻辑思维能力，因此他们希望能够自己探索、发现问题和解决问题，增强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力.他们更需要充满活力与创造发现的课堂.教学内容分析本节课《均值不等式》是《数学必修五（人教B版）》第三章第二节的内容，主要内容是通过现实问题进行数学实验猜想，构造数学模型，得到均值不

2、等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义基础上，理解均值不等式的几何解释；与此同时在推导论证的基础上进行公式的推广并学会应用.均值不等式是这一章的核心，对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等应用问题都起到了工具性作用。有利于学生对后面不等式的证明及前面函数的一些最值、值域进一步拓展与研究，起到承前启后的作用.教学目标依据新课程标准和学生的知识结构与认知水平，确定本节课的教学目标位：（一）知识与技能：通过“从生活中发现问题，实验中分析问题，设计中解决问题、总结问题，论证后延拓问题”五个环节使学生深刻理解均值不等式，明确均值不等式的使用条件，能用均值不等式解决简单的

3、最值问题.（二）过程与方法：通过情境设置提出问题、揭示课题，培养学生主动探究新知的习惯；引导学生通过问题设计，模型转化，类比猜想实现定理的发现，体验知识与规律的形成过程；通过模型对比，多个角度、多种方法求解，拓宽学生的思路，优化学生的思维方式，提高学生综合创新与创造能力.（一）情感态度与价值观：通过问题的设置与解决使学生理解生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中的实际问题，有利于数学生活化、大众化；同时通过学生自身的探索研究领略获取新知的喜悦.教学重点依据新课程标准和教材知识内容的特点，确定均值不等式的推导与证明，均值不等式的使用条件为教学重点.教学难点由于学生对知识

4、的迁移应用能力一般，因此应用均值定理求最值作为本节的教学难点.教学策略选择与设计本节课主要采用启发引导式的教学策略.通过设计问题引出课题，通过启发引导解决问题、总结问题、论证问题、延拓问题等环节让学生领悟科学的探究方法，增强学生的探究能力.在教学中指导学生展开联想，大胆探索，以训练和培养学生的思维能力.教学资源与手段学案、教科书.以学案提纲代替多媒体课件，创设问题情境，激发学习兴趣，提高课堂效率.小组讨论，培养团队合作精神.教学过程设计教学环节教学过程师生活动设计意图情景引入今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确.有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一

5、次，则两次称量结果的一半就是物体的真实重量.他说得对吗？（设物体放在左右托盘称得的重量分别为a,b）教师提出问题让学生思考：a,b的平均值为；物体真实重量是，两者什么关系？1、通过问题情境的设计，激发学生学习的积极性，并为给出均值不等式做铺垫2、培养学生的探究能力均值不等式的内容及证明均值定理：语言叙述：两个正实数的算术平均值不小于它的几何平均值.证明：（作差法）因为教师引导学生对实际问题中引出的问题进行探索、证明。引导：怎样比较两个数的大小？学生：作差法学生给出证明。教师：该不等式中等号何时成立？学生：当且仅当a=b时取=1、通过引导，让学生主动地去证明猜想的结果，进

6、一步巩固比较两个数大小的方法，并形成猜想证明的严密思维，让学生明白猜想、归纳、证明是我们发现规律、认知世界的重要的思维方法2、通过提问进一步加深对均值不等式的理解，明确不等式成立的条件加深理解问题：“任意两个同号的数的算术平均值不小于它们的几何平均值”的说法是否正确？为什么？思考与讨论：均值不等式与不等式的关系如何？请对此进行讨论教师提问学生思考通过讨论和思考，进一步加深对均值不等式的理解，加强学生相互之间的合作意识进一步深化你能用几何图形解释均值不等式吗？方法二：几何法令正实数a、b为两条线段的长,用几何作图的方法作出长度为和的两条线段,然后比较这两条线段的长。（1）

7、作线段AB=a+b,使AD=a,BD=b;(2)以AB为直径作半圆O(3)过D点作CD⊥AB于D,交半圆于C（4）连接AC，BC，CO，则OC=CD=,当a≠b时，OC>CD，即当a=b时，OC=CD，即通过展示均值不等式的几何直观解释，培养学生数形结合的意识，并使抽象的问题更加直观、形象，使学生进一步加深对均值不等式的理解变形应用，让学生对定理形式进行变形.使学生能更灵活的应用公式均值不等式的应用例1、已知，求证：并推导出式中等号成立的条件例2、（1）一个矩形的面积为100，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？