沙国祥--数学思想方法

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1、数学思想方法沙国祥一、数学归纳法数学归纳法综合了归纳和演绎，是解决与自然数有关的问题的重要思想方法.数学归纳法的基本形式:◇基本形式的归纳法设P(n)是关于正整数n的命题，若1°P(1)成立；2°假设P(k)成立，可以推出P(k+1)成立，则P(n)对一切正整数n都成立．上述的基本形式中，已经蕴含：可以假设n≤k(k为任意正整数)时P(n)(1≤n≤k)成立，推出P(k＋1))成立，则P(n)对一切正整数n都成立．◇跳跃数学归纳法：设P(n)是关于正整数n的命题，若1°P(1)，P(2)，…，P(l)成立；2°假设P(k)成立，可以推出P(k＋l)成立，则P(n)

2、对一切正整数n都成立．◇螺旋数学归纳法（翘翘板归纳法）:设命题P(n),Q(n)是两个与正整数有关的命题，满足1°P(1)真；1°对于任何正整数k,若P(k)成立，则Q(k)成立；若Q(k)成立，则P(k＋1)成立,则对一切正整数n，P(n),Q(n)都成立．另一种形式:1°P(1)，Q(1)真；2°对于任何正整数k,若P(k)和Q(k)成立，则P(k＋1)和Q(k＋1)成立,则对一切正整数n，P(n),Q(n)都成立．◇倒推归纳法:设P(n)是关于正整数n的命题，若1°存在无穷多个自然数使命题P(n)成立；2°假设P(k＋1)成立，可推出P(k)成立，则P(n)

3、对一切正整数n都成立．1.实数数列{an}满足:a0≠0,1,a1＝1－a0,an＋1＝1－an(1－an),n＝1,2,3,….证明:对任意正整数n,都有a0a1…an(＋＋…＋)＝1.(2008年中国西部MO第一题)52.在梵城地下有一个僧侣的秘密组织，那里立有3个大型的塔柱，左边的塔柱上由大到小套着64个金盘.僧侣们的工作是要把这64个金盘从左边塔柱转移到右边塔柱上去.但转移过程有严格规定，即每次只能搬动一只盘子；盘子只能在3个塔柱上安放，不允许放地上去；在每个塔柱上，只允许把小盘子叠在大盘子上.传说僧侣们完成这个任务时，世界的末日就来临了.用数学归纳法求出

4、搬动金盘的最少总次数，按这样的搬法，“世界末日”会来临吗？（经典问题欣赏之梵塔问题（汉纳塔问题））3.实数数列{an}满足:ai＋j≤ai＋aj,i,j∈N,证明:对任意n∈N,都有a1＋＋＋…＋≥an.4.对任意大于2的整数n,存在一个正整数的完全立方，使得它可以表示成n个不同正整数的立方和.5.数列{an}满足an=an-1＋an-3＋an-4(n>4)，从第一项开始，其前几项依次为为1,1,2,4,6,…，数列{fn}定义为fn+2＝fn+1＋fn,，且f1=1,f2=2,求证：a2n＝fn2,a2n+1＝fnfn+1（n∈N）.6.设有n个正数a1,a2,

5、a3,…an，定义：算术平均数An＝,几何平均数Gn＝,则An≥Gn.（经典问题欣赏之均值不等式）7.证明：存在正整数的无穷数列{an}：a1＜a2＜a3＜…,使得对所有正整数n，a12＋a22＋…＋an2都是完全平方数．二、极端原理1.平面上有n(n≥3)个点，任意三点不共线，证明：存在3点A、B、C，使其余n－3个点都在△ABC外．2.将凸n边形的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形.对k=1,2,…，n，记是由顶点引出的蓝色边的条数，求证：.（2010年江苏省高中数学联赛江苏赛区复赛题）3.（1）求证：一个数列a1，a2，…，a2n+1

6、中各项相等的充分必要条件是：其中任意2n项中存在n项，其和等于另外n项的和.（2009年清华大学自主招生试题）（2）若干个球装在2n+1个口袋中，如果任意取走1袋，总可以把余下的2n袋分成两组，每组n袋，并且这两组的球的个数相等．证明：每个袋中的球的个数都相等．5(1990年意大利数学竞赛试题)4.试求方程x3－2y3－4z3=0的所有整数解．5.如图，已知两个正方形各顶点处的数等于相邻3个顶点处的数的平均值.试探求这8个数之间的大小关系.6.平面上有n个点，其中过任意两点的直线都经过第三点，证明：这n个点必在同一条直线上．（经典问题欣赏之西尔维斯特问题）7．已知

7、实数列具有下列性质：存在自然数n，满足及求证：存在自然数N，使当时，总有二、构造法1.对于正整数n，定义Sn为和式的最小值，其中a1，a2，…，an是正实数，它们的和为17，证明存在唯一的正整数n，使Sn也是一个正整数，并求这个n．2.设实数a，b，x，y满足方程组求的值．3.对于正整数n，设C(n)为用2的幂之和表示n的方法数，这里2的幂是按非增顺序排列的，而且在和式中使用每个2的幂不能超过3次．例如，8用2的幂的和表示的方法数有5种：8，4+4，4+2+2，4+2+1+1，2+2+2+1+1．证明或否定，对所有的正整数n，有一个多项式P(n)，使得C(n)=[

8、P(n)]