信号分析与处理 期末考试

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1、2014-2015学年第一学期期末考试《信号分析与处理中的数学方法》学号：姓名：注意事项：1.严禁相互抄袭，如有雷同，直接按照不及格处理；2.试卷开卷；3.本考试提交时间为2014年12月31日24时，逾期邮件无效；4.考试答案以PDF和word形式发送到sp_exam@126.com。1、叙述卡享南—洛厄维变换，为什么该变换被称为最佳变换，何为其实用时的困难所在，举例说明其应用。解：形为λφ(?) =  0TC(t,s)φ(t)dt(1-1)的方程称为齐次佛莱德霍姆积分方程，其中φ（t）为未知函数，λ是参数，C（t,s）为已知的“

2、核函数”，它定义在[0，T]×[0，T]上，我们假定它是连续的，且是对称的： (t,s)=?(s,t)(1-2)使积分方程(1-1)有解的参数λ称为该方程的特征值，相应的解φ(t)称为该方程的特征函数。 又核函数可表示为：C(t,s)=n=1∞λnφn(t)φn(s)（1-3）固定一个变量（例如t），则式（1-3）表示以s为变量的函数C(t,s)关于正交系{φn(s)}的傅里叶级数展开，而傅里叶级数正好是λnφn(t)。设x（t）为一随机信号，则其协方差函数 ?（t,s）=?{[x(t)-E{x(t)}][x(s)-E{x(s)}]

3、}是一个非随机的对称函数，而且是非负定的。为了能方便地应用式(1-3)，假定C(t,s)是正定的，在多数情况下，这是符合实际的。当然，还假定C(t,s)在[0，T]×[0，T]上连续。 现在用特征函数系{φn(t)}作为基来表示x（t）： x(t)=n=1∞αnφn(t)(1-4)其中αn=0Tx（t）φn（t）dt因为{φn（t）}是归一化正交系，所以展开式（1-4）类似于傅里叶级数展开。但是因为x（t）是随机的，从而系数xn也是随机的，因此这个展开式实际上并不是通常的傅里叶展开。式(1-4)称为随机信号的卡享南-洛厄维展开。因为

4、这种变换能使变换后的分量互不相关，而且这种展开的截断既能使均方差误差最小，又能使统计影响最小，故具有最优性。卡享南-洛厄维变换没有固定的变换矩阵，它依赖于给定的随机向量的协方差阵。正是这种变换的特点，也是它在实际使用时的困难所在，因为它需要依照不固定的矩阵求特征值和特征向量。卡享南-洛厄维变换应用在数据压缩技术中。按照最优化原则的数据压缩技术可以解决通讯和数据传输系统的信道容量不足和计算机存储容量不足的问题。通过对信号作正交变换，根据失真最小的原则在变换域进行压缩。卡享南-洛厄维变换被选用并不是偶然的，因为这种变换消除了原始信号x的

5、诸分量间的相关性，从而使数据压缩能遵循均方误差最小的准则实施。2、最小二乘法的三种表现形式是什么？以傅里叶级数展开为例说明其各自的优缺点。解：希尔伯特空间中线性逼近问题的求解方法称为最小二乘法。通常它有三种不同的表现形式：投影法、求导法和配方法。我们以傅里叶级数展开为例来说明。投影法： 设X为希尔伯特空间，{e1,e2,e3……}为X中的一组归一化正交元素，x为X中的某一元素。在子空间M=span{e1,e2,e3……}中求一元素m，使得‖x-m0‖=min‖x-m‖m∈M(2-1) 由于M中的元素可表示为e1,e2,e3……的线性

6、组合，那么问题就转化为求系数α1,α2……使得‖x-k=1∞akek‖=min2-2投影定理指出了最优系数α1,α2……应满足x-k=1∞akek⊥ek,m=1,2,……由此可得（x,em）=(k=1∞akek,em)=am也就是说，当且仅当ak取为x关于归一化正交系{e1,e2,e3……}的傅立叶系数ak=(x,ek)Δ＝ck时式（2-2）成立。求导法： 记泛函(2-4)为了便于使用求导法求此泛函的最小值，将它表为(2-5)其中。于是最优的应满足即，或。配方法：(2-6)，以上三种方法都称为最小二乘法。比较起来，从数学理论上讲，投

7、影法较高深，求导法次之，配方法则属初等；从方法难度上讲，求导法最容易，投影法和配方法各有千秋；从结果看，配方法最好，因为它不仅求出了最优系数，而且由配方结果立即可知目标函数的极值。此外，配方法和投影法都给出了达到极小的充分和必要条件，但求导法给出的仅仅是极值的必要条件，如果是极值，还不知道是极大还是极小，所以是不完整的。通过以上的比较，我们不能简单地得出结论，说这三种方法孰胜孰劣。例如：投影法必须把所讨论的最优化问题放到某个希尔伯特空间的框架中去；求导法必须有可行的求导法则，如果未知的变元是向量，矩阵或函数，求导法就不那么直捷了；配

8、方法则是一种技巧性很强的方法，如果目标函数的表达式比较复杂（例如含有向量和矩阵），那么配方是相当困难的，甚至会束手无策。因此，在不同的场合，根据不同的需要和可能，灵活地使用恰当的方法，是掌握最小二乘法的关键。3、二阶矩有限的随机变量希