13.3角平分线的性质

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1、角平分线的性质探究：如图：是一个角平分仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线。你能说明它的道理吗？证明：在△ABC和△ADC中，AB=ADBC=DCAC=AC∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠BAC=∠DAC∴AE是角平分线尺规作角的平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：AＢＯＭＮＣ画法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于点Ｃ．３．作射线ＯC．射线ＯＣ即为所求的角平分线．AＢＭＮＣ为什么OC是角平分线呢

2、？OＯ想一想：已知：OM=ON,MC=NC.求证：OC平分∠AOB。证明:在△OMC和△ONC中，OM=ON，MC=NC，OC=OC，∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC即：OC平分∠AOB练习：平分平角∠AOB．得到角平分线OC，反向延长ＯＣ．得直线ＣＤ，则直线ＣＤ与直线ＡＢ是什么关系？由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法．AOBCD.探究：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后再展开。观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ABEDPcAOBo第一条折痕是∠AOB的平分线OC第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角平分线上一点到

3、∠AOB两边的距离，这两个距离相等。结论：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E求证:PD=PEAOBEDPC证明：∵∴∠AOC=∠BOCOC平分∠AOB∠AOC=∠BOC∠PDO=∠PEOPO=PO∴△DOP≌△EOP（AAS）PD=PE在△DOP和△EOP中∵∴PD⊥OA,PE⊥OB∠PDO=∠PEO练习:△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE、DF分别垂直AB、AC，垂足为E、F.求证:EB=FC.在Rt△DEB和Rt△DFC中BD=CDDE=DF证明:∵AD是角平分线DE⊥AB

4、,DF⊥AC∴DE=DF∠DEB=∠DFC=90°∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)EB=FC小结:1,画一个已知角的角平分线及画一条已知直线的垂线；2,角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．再见