小波分析课件第四章多分辨分析和正交小波变换

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1、第四章多分辨分析和正交小波变换如前所述，小波变换可以将时域信号分解为若干子频段的时域分量之和，那么如何构造小波函数？本章将给出框架理论及多分辨率分析方法。4.1函数的多尺度逼近1、若干基本概念⑴能量有限信号：满足的信号。⑵函数线性空间：若⑶内积及其性质定义：性质：交换性分配性⑷内积空间：满足内积定义和性质的函数线性空间。⑸正交：对,若，称二者正交。⑹向量的模：模可以理解成向量的长度，也可看成是向量之间距离。⑺线性无关在中，对于有限个函数向量，若当且仅当时成立，称线性无关。⑻基函数在有限维空间中，选定有限个线性无关函数作为基底向量，空间中任意函数向量都可以由这些函数

2、（基底）的线性组合来表示。将此推广到无穷维空间，则线性无关的函数族可构成的基底，其中任意函数均可由它们线性组合而成。因此：⑼正交基函数如果基函数族中的基函数是相互正交（或标准正交）的，则称为正交基函数族（标准正交基）。（10）正交子空间设和是的两个子空间，若2、函数的多尺度逼近函数（模拟信号）可用一串不同尺度ｊ的函数序列来逼近，这种方法称为函数的多尺度逼近。这种做法已经得到广泛的应用。最常用的做法是数据的采样分析。给定采样间隔基本单位，在不同的尺度下，有不同的采样间隔。给定一个连续信号f(t)，我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似。如下图所示，令显然

3、，φ(t)的整数位移相互之间是正交的，即这样，由φ(t)的整数位移φ(t−k)就构成了一组正交基。设空间V0由这一组正交基所构成，这样，f(t)在空间V0中的投影（记作f0(t)）可表为：f0(t)如上图所示，它可以看作是f(t)在V0中的近似。是离散序列。令是由作二进制伸缩及整数位移所产生的函数系列，显然，和,是正交的。这一结论可证明如下：将作二倍的扩展后得，由作整数倍位移所产生的函数组当然也是两两正交的（对整数k），它们也构成了一组正交基。我们称由这一组基形成的空间为V-1，记信号f(t)在V-1中的投影为f-1(t)，则将作1/2倍的压缩后得，由作整数倍位移所

4、产生的函数组当然也是两两正交的（对整数k），它们也构成了一组正交基。我们称由这一组基形成的空间为，记信号x(t)在中的投影为，则若如此继续下去，在给定的的基础上，我们可得到在不同尺度j下通过作整数位移所得到一组组的正交基，它们所构成的空间是，j∈Z。用这样的正交基对作近似，就可得到f(t)在中的投影。用对作近似，j越大，近似的程度越好，也即分辨率越高。当j→∞时，中的每一个函数都变成无穷的窄，因此，有另一方面，若j→-∞，那么,φkj(t)中的每一个函数都变成无穷的宽，因此，对f(t)的近似误差最大.不难发现：低分辨率的基函数完全可以由高一级分辨率的基函数所决定。从

5、空间上来讲，低分辨率的空间V-1应包含在高分辨率的空间V0中，即：假定基本采样间隔为，j尺度下的采样间隔为，在该尺度下划分的节点为，采样值为，为了逼近原函数，选定基函数为，这种基函数是由同一函数经过平移放缩生成，如，于是可作出j尺度下的近似函数：从上式可以看出实际上是函数在该尺度基函数上的投影。如何确定这些系数，最方便的做法是采用内插型基函数，这样刚好是函数在样本点的值，避免另行计算这些系数。逼近的方法包括阶梯型函数逼近、梳状函数逼近、折线函数逼近、样条函数逼近等。3、多尺度逼近中函数子空间的相互关系在多尺度逼近中，若尺度j和基函数给定，不同的组合系数对应着不同的，

6、这些函数可归为同一类函数，均由相同的基函数描述出来，都是平方可积的，记为：为线性函数空间，且。改变尺度j，可得到不同的线性空间，由逼进的过程，可形成如下子空间序列：称是一个嵌套式子空间逼进序列。4、多尺度逼近中的正交基表示在多尺度逼近过程中，用到了的基函数序列，同一尺度中各基函数可以是平移正交的，也可以是平移非正交的。假设是标准正交基，则：这给近似函数的表示带来方便.公式：5、多尺度逼近的基本条件——Riesz基按照逼近要求，有：（平方可积）根据和的一一对应关系，（平方可和)——Riesz基条件4.2多分辨分析（Multi-resolutionAnalysis）将

7、多尺度逼近总结如下：1）2）3）是Riesz基。1986年．S.Mallat和Y.Meyer在多尺度逼近的基础上提出了多分辨分析(Multi-resolutionAnalysis，简称MAR）.MRA是指一系列嵌套式子空间逼进序列，满足如下要求：1）2）3）4）是Riesz基。生成了MRA，称为尺度函数或MRA的称为生成元。二者比较:差别一:红色显示部分；差别二：后者强调双尺度方程。（双尺度方程）MRA的含义●1、生成MRA双尺度方程明确了V0和V1之间的传递关系，现在推导和之间的传递关系。●2、MRA确定了的子空间直和分解关系按照前面的分析，毕竟不等于，也即比