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1、湖北民族学院理学院2014年春季学期数学与应用数学专业复变函数实验课（二）画图部分上课教师：汪海玲复变函数的matlab做图matlab表现复变函数（四维）的方法是用三维空间坐标再加上颜色，类似于地球仪用颜色表示海洋与高山。单值函数：单叶多值函数：多叶matlab使用下列函数进行复变函数的做图：cplxgrid：构建一个极坐标的复数数据网格z=cplxgrid(m); %产生（m+1）*（2*m+1）的极坐标下的复数数据网格。最大半径为1的圆面cplxmap：对复变函数做图cplxmap(z,f(z),[optionalbound]) %画
2、复变函数的图形，可选项用以选择函数的做图范围cplxmap做图时，以xy平面表示自变量所在的复平面，以z轴表示复变函数的实部，颜色表示复变函数的虚部cplxroot：画复数的n次函数曲面cplxroot(n) %画复数n次根的函数曲面,复数为最大半径为1的圆面cplxroot(n,m) %画复数n次根的函数曲面,复数为最大半径为1的圆面,为（m+1）*（2m+1）的方阵 例1：画复数z^3的图形z=3*cplxgrid(30);cplxmap(z,z.^3);colorbar其结果如图可见，自变量z的取值在水平面的半径小于3的园内。cplx
3、map做图时，以xy平面表示自变量所在的复平面，以z轴表示复变函数的实部，颜色表示复变函数的虚部由于函数为单页的，所以函数是单值的 例2：画复数（z-0.5）^0.5的图形仿照cplxroot函数的程序，编程如下m=20;n=2;r=(0:m)'/m;theta=pi*(-m:m)/m;z=r*exp(i*theta)-0.5;w1=z.^(1/n);subplot(2,2,1),surf(real(z),imag(z),real(w1),imag(w1));colorbarw2=w1.*exp(i*2*pi/n);subplot(2,2,2)
4、,surf(real(z),imag(z),real(w2),imag(w2));colorbarsubplot(2,1,2)surf(real(z),imag(z),real(w1),imag(w1));holdonsurf(real(z),imag(z),real(w2),imag(w2));colorbar如果仅使用w1=z.^(1/n);，则所得结果为图（2，2，1）可见，对于多值函数，MATLAB仅仅是对其主值进行计算。例3：复变函数1/（1-z）的级数展开复变函数1/（1-z）是级数展开中常用的一个函数。当abs（z）<1时，它的泰
5、勒展开式为1/(1-z)=求和（k=0,+无穷）z^k当abs（z）>1时，它的罗朗展开式为1/(1-z)=求和（k=-无穷,-1）z^k泰勒展开与罗朗展开的区别在复变函数里面，一些函数无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数,这就是洛朗级数.从形式上看,泰勒级数是只含正幂项和常数项.洛朗级数不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。可以认为泰勒级数是洛朗级数的一种特殊形式m=30;r=2*(0:m)'/m;theta=pi*
6、(-m:m)/m;z=r*exp(i*theta)-0.5;z(find(z==1))=nan;z1=z;z1(abs(z1)>=1)=nan;w1=1;u1=1;fork=1:100 u1=u1.*z1; w1=u1+w1;endsubplot(2,2,1)cplxmap(z1,w1)colorbarz2=z;z2(abs(z2)<=1)=nan;w2=1./z2;u2=1./z2;fork=1:100 u2=u2./z2; w2=u2+w2;endsubplot(2,2,2)cplxmap(z2,-w2)colorbarsu
7、bplot(2,2,3)cplxmap(z,1./(1-z))colorbartemp1=caxis;subplot(2,2,4)cplxmap(z1,w1)holdoncplxmap(z2,-w2)caxis(temp1)axis([min(min(real(z))),max(max(real(z))),min(min(imag(z))),max(max(imag(z))),min(min(real(1./(1-z)))),max(max(real(1./(1-z))))])colorbar图（2，2，1）为泰勒展开，图（2，2，2）为罗朗展
8、开图（2，2，3）为matlab计算结果，图（2，2，4）为泰勒展开和罗朗展开的综合结果
