著名不等式公式

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1、Gothedistance三角形内角的嵌入不等式三角形内角的嵌入不等式，在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。该不等式指出，若A、B、C是一个三角形的三个内角，则对任意实数x、y、z，有：算术-几何平均值不等式在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为n个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在

2、数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。例子在n=4的情况，设:，那么.Gothedistance可见。历史上的证明历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。n=2的情况很早就为人所知，但对于一般的n，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向

3、归纳法的证明[1]：命题Pn：对任意的n个正实数，1.当n=2时，P2显然成立。2.假设Pn成立，那么P2n成立。证明：对于2n个正实数，3.假设Pn成立，那么Pn−1成立。证明：对于n-1个正实数，设，，那么由于Pn成立，。但是，，因此上式正好变成综合以上三点，就可以得到结论：对任意的自然数，命题Pn都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然Gothedistance数k，命题都成立。因此对任意的，可以先找k使得，再结合第三条就可以得到命题Pn成立了。归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（

4、GeorgeChrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：由对称性不妨设xn+1是中最大的，由于，设，则，并且有。根据二项式定理，于是完成了从n到n+1的证明。此外还有更简洁的归纳法证明[3]：在n的情况下有不等式和成立，于是：所以，从而有。基于琴生不等式的证明注意到几何平均数实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：。Gothedistance由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。此外还有基于排序不等式、伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。推广

5、算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。加权算术-几何平均不等式不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设和为正实数，并且，那么：。加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。矩阵形式算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：对于系数都是正实数的矩阵设，，那么有：Gothedistance也就是说：对k个纵列取算术平均数，它们的几何平均大于等于对n个横行取的n个几何平均数的算术平均。极限形式也称为积分形

6、式：对任意在区间[0,1]上可积的正值函数f，都有这实际上是在算术-几何平均值不等式取成后，将两边的黎曼和中的n趋于无穷大后得到的形式。伯努利不等式数学中的伯努利不等式是说：对任意整数，和任意实数，；如果是偶数，则不等式对任意实数x成立。可以看到在n=0,1，或x=0时等号成立，而对任意正整数和任意实数，，有严格不等式：。伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。[编辑]证明和推广伯努利不等式可以用数学归纳法证明：当n=0,1，不等式明显成立。假设不等式对正整数n，实数时成立，那么Gothedistance。

7、下面是推广到实数幂的版本：如果x>−1，那么：若或，有；若，有。这不等式可以用导数比较来证明：当r=0,1时，等式显然成立。在上定义f(x)=(1+x)r−(1+rx)，其中，对x微分得f'(x)=r(1+x)r−1−r，则f'(x)=0当且仅当x=0。分情况讨论：00，f'(x)<0；对−10。因此f(x)在x=0时取最大值0，故得。r<0或r>1，则对x>0，f'(x)>0；对−1

8、立当且仅当x=0。[编辑]相关不等式下述不等式从另一边估计(1+x)r：对任意x,r>0，都有。佩多不等式几何学的佩多不等式，是关连两个三角形的不等式，以唐·佩多(DonPedoe)命名。这不等式指出：如果第一个三角形的边长为a,b,c，面积为f，第二个三角形的边长为A,B,C，面积为F，那么：Gothedistance，等式成立当且仅当两个三角形为一对相似三角形，对应边