Russell悖论释疑

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1、http://www.paper.edu.cnRussell悖论释疑——数学基础四大逻辑悖论理性重释之五12杨本洛，宋文淼1上海交通大学自然科学基础研究组，上海200240Email:blyang@sjtu.edu.cn2中国科学院电子研究所，北京100080Email:wenmiaosong@gmail.com摘要:对于集合论而言，通常视Russell悖论比Cantor悖论更为致命。但是，Russell悖论之所以显得特别隐晦，归咎于该悖论的构造自身隐含逻辑前提的不当或错误。并且，与所有的集合论悖论一样，最终根源于对“存在原则”的逻辑否定。关键词:集合论，Russell悖论，

2、矛盾，逻辑如何认识和解决Cantor悖论，成为19世纪末至20世纪初西方数学家和哲学家们需要面对的严峻课题。1901年，被人们视作“现代逻辑主义”代表人物的哲学家B.Russell在即将进入而立之年之际，在给他的前辈并被人们同称为“数学逻辑主义”创始人的德国数学家费雷格（G.Frege）的信中，最早提出一个称之为“集合论悖论中一个影响最大”的悖论，即Russell悖论。收到Russell的来信，Frege立刻意识到这个悖论的对数学的逻辑主义纲领带来的致命威胁。为此，Frege特地为次年出版的《数学基本规则》第二卷增添了一个后记，在其中“不无悲哀（其实应该称之为一种极其难能可贵

3、的诚实和勇气）”地写道：对于一个科学工作者来说，最不幸的事情莫过于：当他的全部工作刚刚完成的时候，却发现知识大厦的一块基石突然动摇了。正当本书的印刷接近完成之际，B.Russell先生给我的一封信使我陷入这种境地。事实上，如果需要指出：因为Russell悖论迫使Frege在“极度消沉”中度过了长达十几年的岁月，最终“彻底放弃把算术化归为逻辑的一切希望”；不如更为准确地说：当那个时代的许多人以为以集合论为基础重建数学大厦的工作即将完成的时候，Russell悖论清楚表明这个[1,2,3]刚刚完成的“数学大厦”的奠基石崩溃了。当然，正如一些著述已经指出的那样，作为Russell悖论

4、的提出者并没有真正逻辑地认识到：这个悖论对整个现代数学体系基础所构成巨大而致命的冲击；那么，同样因为此，当21世纪的西方知识社会开始重新关注现代数学体系基础的跨世纪争论时，这实际上也是数学基础的所谓“逻辑主义纲领”已经逐渐淡出人们的视野，将这个不仅涉及数学体系的本身，而且还关系整个自然科学存在基础的争论，最终逻辑或本质地归结为人类的知识体系必须严格建立在“实体论——物质第一性”之上，还是允许甚至只能建立在“约定论——纯粹[4]自由思想”之上的缘故。1.Russell悖论的构造与集合论的其它几个悖论相比，对Russell悖论做出较为清晰的陈述要困难一些，甚至不妨说这个悖论自身的

5、意义相当晦涩。因此，此处基本采用《公理集合论导引》一书针对Russell悖论相应所作陈述的同时，努力以一种相对更为容易为人们理解的语言，以及局部添加评述的叙议结合方式介绍这个悖论的具体构造。根据集合论，任意一种对象，无论它是实在的还是虚拟的，它们都可以用作构造集合的-1-http://www.paper.edu.cn元素。特别地，集合也是人们思维的对象。因此，集合也可以作为“集合”的元素。需要注意：正如Russell在叙述他是如何发现他所提出的悖论时特别指出的那样，此处之所以需要强调“任意一种对象都可以成为集合的元素”的随意性，只是为了能够与Cantor悖论中所定义的那个“由

6、‘所有集合’构造的集合”的基本理念保持一致。但是，促使Russell进一步思考的问题与Cantor悖论并不相同，Russell提出了另一个独立命题：在这个由集合所构造的“集1合”中，是否存在不是该“集合”中元素的集合？事实上，如果遵循构造集合论的最基本思想，不仅“对象”的认定极其广泛，无需也不允许任何形式“有限论域”的限制，而且，根据集合论的“概括原则”，对于“性质”或者“条件”这一概念的认定同样极其广泛，同样没有并且不允许任何限制的存在。故而，在集合论的习惯陈述中，常常将“性质”称之为“谓词（Predicate）”，从而以一种更为明确的方式告诉人们：不仅性质的存在是无条件或

7、无所限制的；而且一旦对性质作出认定，逻辑上已经对拥有该性质的逻辑主体构成认定。显然，当用“性质”p1(x)隐式地表示x是一自然数时，性质p1(x)就相应成为刻画自然数集合的“概括原则”。如果用N表示自然数集合，则存在这样一些简单而自然的推论11,2,L∈N,∉N,N∉N2注意，上述自然推论中的最后的命题N∉N通常表示这样一层意义：因为集合中的不同元素必须是“可辨（Distinguishable）”的，所以尽管自然数集合中的所有不同元素是可辨的，但是作为自然数某个集合的整体并不具有“可分辨”性，因此自然数