3三元一次方程组解法举例

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1、[例1]解方程组   提示：解一次方程的思想是什么？可以采取什么方法来实现？   参考答案：   解：   把①代入②得5x+3(2x-7)+2z=2   整现得11x+2z=23  ④   ④×2+③得25x=50，x=2   把x=2代入①和③得   y=-3，z=   ∴是原方程的解   说明：   解三元一次方程，可以先消去一个未知数化为二元一次方程来解，即三元转化二元转化一元，因此代入消元、加减消元法均可运用。   [例2]      提示：   此方程组是一个三元一次方程组，我们知道，解二元一次方程组的基本方法是代入法和加减法，事实上，在求解过程中，不管是代入或是加减，其

2、目的是消元，把二元转化为一元，从而求解，类似，三元一次方程组的解法也可以设法将三元二元一元，观察方程组，①中含有两个未知数，可以变形为y=2x-7④，把④分别代入②，③，便于消去y，得到一个关于x，z的二元一次方程组，通过求解x，z便可求出y的值，从而达到解三元一次方程组的目的。   参考答案：   解：由①得y=2x-7④   将④分别代入②③得         ⑤-⑥得12x=48             ∴x=4   把x=4代入⑤得           4+z=3            ∴z=-1   把x=4，z=-1代入②得   4+2y+5(-1)=1         

3、      2y=2             ∴y=1      说明：   此题也可以用代入法求解x，z，一般来说，当方程组中某个未知数为1时，用“代入法”来求解比较简，当某个未知数的系数绝对值相等或成整数倍时用"加减法"消元比较容易，特别对多元一次方程组，两者可以结合起来。                                        第二阶梯   [例1]      提示：考虑用加减法，三个方程中，z的系数比较简单，设法先消去z，①+③可以消去z，得到一个只含x，y的方程，进一步②+③×2，也可以消去z得到一个只含x，y的方程，这样，就得到了一个关于x，y的二元

4、一次方程组。   参考答案：   ①+③得5x+5y=25④   ②+③×2得5x+7y=31⑤      解这个方程组⑤-④得∴   把x=2，y=3代入①得   3×2+2×3+z=13       ∴z=1    说明：   此题是根据观察三个未知数的系数，先要考虑好消去哪个未知数，这是根据谁的系数简单，就消去谁，此题还可以利用①-②×3，③-②×2消去x或①-②×2，③-②×3消去y，都可以利用消元法求解方程组，可见消元法是解多元一次方程组基本方法。   [例2]    提示：两方程组有相同的解是指存在一对x、y的值，使两个方程组中的每两个方程左边和右边的值相等，这x、y的值

5、就是方程组的解.   参考答案：   解：解方程组   ①-④得6y=12    ∴y=2   把y=2代入④得x=-1   把x=-1,y=2代入②③，得   2×（-1）+2-2b=0   3×(-1)+2a-13=0   解得a=8b=0   说明：   此题是利用待定系数法求解a、b值是二元一次方程组的一个简单应用第三阶梯   [例1]   提示：这个方程组中的方程①是一个等比式，这就决定了这个方程的特殊性采取特殊的解法，设，那么x=2k,y=3k,z=5k，然后都代入②解出k求解x，y，z。   参考答案：   解设   那么x=2k,y=3k,z=5k     ③   将

6、③代入②得2k+3k+5k=20                   10k=20                     k=2   将k=2代入③得到原方程组的解   说明：用特殊求解方法，可以直接把三元一次方程组变成一元一次方程解的过程简单多了，这种设等比式为其一个常数k的方法，在今后学习中还会经常见到。