第二章连续信号的抽样

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1、第二章连续时间信号的抽样一、引言¢作为数字信号处理的第一步，要将现实中许多连续时间信号进行抽样保持。即要将连续时间信号变成数字信号。1、抽样¢抽样：就是利用周期性抽样脉冲序列p(t),从连续信号x(t)中抽取一系列的离散a值，得到抽样信号（或称抽样数据信号）即离散时间信号，以xˆa(t)表示。¢抽样是模拟信号数字化的第一环节，再经幅度量化编码后即得到数字信号x(n).2、抽样器¢抽样器：可以看成是一个电子开关。¢开关每隔T秒闭合一次（对理想抽样，闭合时间应无穷短，对实际抽样，闭合时间是τ秒，但τ<

2、信号得以抽样，得到连续信号的抽样输出信号。xa(t)xˆ(t)a3、研究内容（1）信号被抽样后其频谱将会有什么变化？（2）在什么条件下，可从抽样数据信号xˆa(t)中不失真地恢复出原来信号x(t)?a4、抽样方式¢抽样方式有：理想抽样、实际抽样。¢抽样过程：可以看成脉冲调幅，xa(t)为调制信号，被调脉冲载波是周期为T的周期性脉冲串。当脉冲宽度为τ时，可得实际抽样，当脉冲宽度为τ→0时，得到的是理想抽样。二、理想抽样¢当τ→0的极限情况（当τ<

3、数序列δ(t),T¢各冲激函数准确地出现在抽样瞬间上，面积为1，抽样后输出理想抽样信号的面积（即积分幅度）则准确地等于输入信号x(t)在抽样瞬间的幅度。ax(t)a0tp(t)=δ(t)T10Ttxˆ(t)at0理想抽样理想抽样输出为：∞xˆa(t)=∑xa(t)δ(t−mT)m=−∞∞=∑xa(mT)δ(t−mT)m=−∞利用时域相乘等于频域卷积，可求其理想抽样信号的频谱。)1Xj()Ω=[()∆ΩjXj*()Ω]aTa2π其中：∞−ΩjtXj()Ω=DTFTxt[()]=xted()taa∫a−∞∞∆Ω=

4、TT()jDTFTt[(δδ)]=Ωs∑(Ω−Ωks)k=−∞)12∞πXjas()Ω=Ω[∑δ(−kXΩ)*()ajΩ]2πTk=−∞∞1∞=Ω∫Xjas()θ∑δθ(−kdΩ−)θT−∞k=−∞∞1∞=Ω∑∫Xjas()(θδθ−kdΩ−)θT−∞k=−∞1=ΩXjj()−kΩasT理想抽样后信号频谱：∞12πxˆa(jΩ)=∑xa(jΩ−jk)Tk=−∞T看出：一个连续时间信号经过理想抽样后，其频谱将以抽样频率：2πΩ=sT为间隔而重复，这就是频谱产生周期延拓。奈奎斯特抽样定理¢奈奎斯特抽样定理：要想抽

5、样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率。Ω>2Ωsh或f>2fsh折叠频率折叠频率：抽样频率之半称之。Ωπs>2T它如同一面镜子，当信号频谱超过它时，就会被折叠回来，造成频谱的混叠。即信号的最高频谱：Ω>Ω/2hs造成频谱混叠。为避免混叠采取措施¢在抽样器（A/D）前加入一个保护性的前置低通滤波器，称之防混叠滤波器，其截止频率为：Ωs2用来滤除高于此频率分量的信号。抽样的恢复抽样频率在满足奈奎斯特抽样定理，即信号频谱的最高频率小于折叠频率，则抽样后的信号不会产生频谱混叠。其抽样后

6、的信号为：∞Ω1sxˆa(jΩ)=∑xa(jΩ)Ω

7、通滤波器的冲激响应为：1∞jΩth(t)=∫H(jΩ)edΩ2π−∞πsin[t]TΩs/2jΩtT=∫edΩ=2π−Ωs/2πtT理想低通滤波器的输出：∞y(t)=x(t)=xˆ(τ)h(t−τ)dτaa∫a−∞∞=∑xa(mT)h(t−mT)m=−∞π∞sin[(t−mT)]T=∑xa(mT)πm=−∞(t−mT)T抽样内插公式π∞sin[(t−mT)]Tya(t)=∑xa(mT)=xa(t)πm=−∞(t−mT)T即由信号的抽样值x(mT)经此公式而得到连a续信号x(t).a内插函数函数：πsin[(t

8、−mT)]Tπ(t−mT)T称为内插函数。πsin[(t−mT)]T1π(t−mT)TmTt(m-2)T(m-1)T(m+1)T(m+2)T内插函数x(t)at0T2T3T4T从上图看出：（1）在抽样点mT上，函数值为1，其余抽样点上，函数值为零。(2)x(t)等于各x(mT)乘上对应的内插函数的总和。aa(3)在每一抽样点上，只有该点所对应的内插函数不为零，这使得各抽样点上信号值不变，而抽样点之间