第8章 连续时间信号的频谱分析

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1、第8章连续时间信号的频谱分析如第2章所述，信号既具有时域特性，也具有频域特性。连续时间信号的频谱分析即是将时间变量变换为频率变量的分析方法，其理论工具为傅里叶级数和傅里叶变换。此方法揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与频率特性之间的密切关系。本章介绍连续时间信号的频谱分析，涉及周期信号的频谱分析、非周期信号的傅里叶变换、傅里叶变换的性质等。8.1周期信号的频谱分析8.1.1周期信号的傅里叶级数满足如下狄里赫利条件的周期信号f(t)，可以用三角函数集或复指数函数集的线性组合来表示，这种线性组合称为傅里叶级数。狄里赫利条件如下：①连续或一个周期内只有有限个第一类间断点；②仅

2、有有限个极值点；t0T③在一个周期内绝对可值，即

3、f(t

4、)dt。t08.1.1.1三角形式的傅里叶级数周期为信号f(t)三角形式的傅里叶级数展开式如下f(t)a0(ancosn1tbnsinn1t)（n为正整数）（8-1-1）n12其中为基波角频率，T为周期，a为直流分量，a和b分别为余弦谐波分量的10nnT振幅和正弦谐波分量的振幅。a、a和b亦称为傅里叶系数，可按以下方式确定。0nn1t0Taf(t)dt（8-1-2）0Tt02t0Taf(t)cosntdt（8-1-3）n1Tt02t0Tbf(t)sinntdt（8-1-

5、4）n1Tt0若将式（8-1-1）中同频率项加以合并，则式（8-1-1）可改写为f(t)A0Ancos(n1tn)（8-1-5）n1式中A为直流分量，A和分别为n次谐波分量的振幅和初相，而且0nnAa0022anAncosnAnanbn或（8-1-6）bAsinbnnnnnarctanan上述三角形式的傅里叶级数开展式表明：满足狄里赫利条件的周期信号可以分解为一个直流分量与无穷多个谐波分量之和。8.1.1.2指数形式的傅里叶级数周期信号f(t)指数形式的傅里叶级数展开式如下jn1tf(t)Fne（n为正整数

6、）（8-1-7）njn其中F

7、F

8、e为傅里叶级数的复系数，可按下式确定。nn1t0TjntFf(t)e1dt（8-1-8）nTt0*FF（8-1-9）nn式（8-1-7）表明：满足狄里赫利条件的周期信号可以分解成无穷多项不同频率的复指数函数的线性组合。显然，指数形式的傅里叶级数比三角形式的傅里叶级数更加紧凑。事实上，式（8-1-1）或式（8-1-5）和式（8-1-7）可结合如下欧拉公式相互导出。jn1tecosntjsinnt（8-1-10）11cosnt1(ejn1tejn1t)12（8-1-11）sinnt1(ejn

9、1tejn1t)12j为此，可得两种形式的傅里叶级数展开式中的系数有如下关系FAa（8-1-12）00011jF(ajb)Aen(n)0（8-1-13）nnnn221221即：

10、F

11、abA，。nnnnnn228.1.1.3信号波形的对称性与傅里叶系数的关系当实信号f(t)的波形具有某种对称性时，其相应的傅里叶级数的系数会呈现一定的特征。譬如，某些傅里叶级数的系数为零，从而可简化计算。（1）纵轴对称若f(t)的波形以纵轴为对称轴，则称为纵轴对称信号，即满足f(t)f(t)，f(t)为偶函数。譬如，如图8-1-1所示信号。1此时，b0

12、，Aa，Fa为实数。nnnnn2（2）原点对称若f(t)的波形以原点对称，则称为原点对称信号，即满足f(t)f(t)，f(t)为奇函数。譬如，如图8-1-2所示信号。1此时，FAa0，a0，Ab，Fjb为纯虚数。000nnnnn2（3）半周横轴对称若f(t)沿时间轴平移半个周期后的波形与原信号的波形以横轴对称，则称为半周横轴对T称信号，即满足f(t)f(t)，f(t)为奇谐函数。譬如，如图8-1-3所示信号。2此时，aAF0，FAab0（k,3,2,1），即f(t)仅含有奇次谐波，0002k2k2k2k而没有偶次谐波。例8-1-

13、1如图8-1-4所示信号，试根据信号波形对称性说明其傅里叶系数的特点。1解：（1）因f(t)为偶函数，从而：b0，Aa，Fa为实数。nnnnn2（2）又f(t)为奇谐函数，于是：aAF0，FAab0（k,3,2,1）0002k2k2k2k综上得aAF0，b0，FAa0（k,3,2,1）000n2k2k2k1Aa，Fa（k,3,2,1）2k12k12k12k128.1.2周期信号的频谱周期信号的傅里叶级数表明周期信号可表示为直流分量和不同频率正弦分