有限素数度弧正则图

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1、中国科学：数学2014年第44卷第3期：307315《中国科学》杂志社SCIENCECHINAPRESS有限素数度弧正则图潘江敏，丁素云，刘寅云南大学数学与统计学院，昆明650091E—mail：jmpan@ynu．edu．cn，15288361350@163．corn，liuyinjiayou@sina．corn收稿日期：2013—07-03；接受日期：2013—12—10；通信作者国家自然科学基金f批准号：11071210和11171292)资助项目摘要如果一个图的全自同构群在其弧集上正则，则称此图为弧正则图．本文刻画素数度的立方自由阶弧正则图，证明任何素数度2倍奇立方自由阶弧正则图都是正

2、规或二部正规Cayley图，且不存在任意素数度4倍奇立方自由阶的弧正则图，推广了一些已知的结果，得到阶为8倍奇平方自由阶素数度弧正则图的分类，并发现新的弧正则图类．此外，基于所得的结果，我们提出一个猜想和有待后续研究的一些问题．关键词弧正则图Cayley图自同构群立方自由阶MSC(2010)主题分类20B15，20B30，05C251引言在本文中，所考虑的图都是度数大于等于3的无向单图．对于一个图，令，，和AutF分别表示它的顶点集、弧集和全自同构群．若AutF在，上正则，则称，为弧正则图f或1一正则图)．若AutF的一个子群在，上正则，则称，为一弧正则图．易知，弧正则图都是连通图．设G为一个

3、群，s为G＼{1}的一个非空子集，且满足s=s：={9—1lg∈}．定义群G关于s的Cayley图(记为Cay(G，S))如下：顶点集为，=G，顶点g与h邻接当且仅当hg_1∈s．众所周知，一个图，与群G上的一个Cayley图同构当且仅当AutF包含一个与G同构且在，上正则的子群[，命题16引．设X≤AutF，图，称为一正规Cayley图，如果包含一个在，上正则的正规子群；图称为一二部正规Cayley图，如果有一个正规子群在，上半正则且恰有两个轨道；特别地，如果X=AutF，则F分别称为正规Cayley图或二部正规Cayley图．由定义可知，弧正则图与其全自同构群密切相关．由于确定己知图的全自

4、同构群是代数图论中的基本课题之一，弧正则图的刻画受到了众多学者的关注．例如，文献『2-51给出了小度数弧正则图的一些构造；文献【61得到了素数度平方自由阶弧正则图的分类；文献【7，8]证明了存在2p阶和6p阶(其中P为素数)的3度弧正则图的充分必要条件是3I(P一1)．此外，文献[8]证明了不存在4倍奇素数和4倍奇素数平方阶的3度弧正则图，文献f91证明了不存在4倍奇平方自由阶的3度弧正则图．本文的第一个结果刻画素数度立方自由阶弧正则图，特别地，证明不存在任意素数度的4倍奇立方自由阶弧正则图，推广了上述结果．一个正整数n称为平方自由、立方自由或四次自由的，如果不存在素数P分别有Pl礼，P0ln

5、或Pl礼成立．潘江敏等：有限素数度弧正则图定理1．1设礼为立方自由的奇整数，则下面的结论成立：(1)不存在任意素数度的4n阶连通弧正则图；f21任何2n阶的素数度连通弧正则图都是正规Cayley图或者二部正规Cayley图．基于正规Cayley图和二部正规Cayley图的一些很好的性质[1012]，定理1．1(21中的图有很好的刻画．例如，容易证明，定理1．1(2)的正规Cayley图都可以表示为Cay(a，S)(这里的群G己被文献[13]完全确定)，其中S=9(，g∈G为二阶元，为满足(9(∞)G的群G的P阶白同构．然而，要完全确定这些图的具体构造在目前看来仍是困难的．文献f14]得到了8倍

6、素数阶和8倍素数平方阶的3度弧传递图的分类．本文的第二个结果刻画了任意素数度的8倍奇平方自由阶弧正则图．定理1．2设，为素数度的8倍奇平方自由阶的连通弧正则图，则下列情形之一成立：(1)F=cq(k，札)(见例4．2)是三维超立方体Q3的正则z一覆盖，其中2≤≤礼一3，k。++1三0(mod礼)；(2)F为完全二部图K3，3的唯一正则(z；×z)一覆盖，其中_，n=3Sp1P2⋯Pt，0≤s≤1，≥1，且每个pi都是满足p三1(mod3)的素数；(3)F为以第一Janko单群为全自同构群的度数为3，5，7，11或19的图；(4)AutFPGL(2，P)，其中P三4-3frood8)为素数．注1

7、．3(1)定理1．2(2)中的图利用文献『15，第5节]中的方法可以完全确定；定理1．2(3)中的图利用Magma程序[1(jj可以完全确定．(2)设q≥5为素数幂，利用Macbeath[17】证明的PSL(2，q)和SL(2，q)的所谓“逆／反射⋯眭质(见引理2．2)，本文的引理3．3证明不存在以PSL(2q)或SL(2，q)为全自同构群的素数度弧正则图．通过用文献[16]对一些具体素数P的验证