二部距离正则图代数性质

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1、摘要本文主要研究关于特殊的距离正则图一二部距离正则图的余弦序列的不等式，及不等式等号成立与Q．多项式结构的对偶二部性质的关系．进一步，针对特殊的二部距离正则图一2．齐次二部距离正则图，研究其特征值的性质及伪余弦序列的性质．本文共分为5节．第1节介绍了距离正则图的基本概念和性质．第2节给出了关于二部距离正则图的余弦序列的不等式，结论如下：·设F=(X，R)为直径d≥3的二部距离正则图，特征值Oo>口l>⋯>8d，E为F的某个本原幂等元，口为关于E的特征值，关于口的余弦序列为％，0-，⋯，％，则对任意整数i(1≤iSd—1)，a(

2、a—aiai+x)一a2(i一嚷2)≥吼一1(0r0"i一吼+1)．第3节给出了当上述不等式等号成立的充要条件，结论如下：·设F=(五R)为直径d≥3的二部距离正则图，特征值Oo>口1>⋯>以，令口=仇，ao，仃，⋯，％为关于p的余弦序列，则以下等价．(1)I、关于p为对偶二部Q一多项式的．(2)吼≠l(1≤i≤田，并且a(cr+吼)一砚(1+砚)=0．第4节主要研究了2一齐次二部距离正则图的特征值的性质，结论如下：·设F=(X，R)为直径d≥4，价k≥3的2．齐次二部距离正则图，80>秽l>⋯>如为r的互不相同的特征值，且口

3、l=k一2，易为口1对应的本原幂等元，则存在r的互不相同的本原幂等元只H使得且OF6Swn(P,日)．并且令p，，Oh为关于E日的特征值，则oAot—Oh)=2k．·设F=(X，R)为直径d≥3，价k≥3的2一齐次二部距离正则图，Oo>p1>···>如为r的互不相同的特征值，且pl=k一2，令E，E日为r的互不相同的非平凡的本原幂等元使得EoF∈跏n(F'日)．令以，p，，如分别为关于E，F'日的特征值，则(1)若p，=秽1，则有以=k一4，靠=k一6．(2)若口，=Od—l，则有良=k～4，以=-(k一6)．第5节主要研究了

4、关于2-齐次二部距离正则图的伪余弦序列的性质，结论如下：·设F=(X，R)为直径d≥3，价k≥3的2一齐次二部距离,TN图，Oo>口1>···>如为r的互不相同的特征值，R01=k一2．对任意臼，976R，关于口，p1，日’的r的非平凡的伪TTT本原幂等元分别为E，EH，HEoF=QF+flH，Q，p∈醍Qp≠0，则拈普．此时数对0，0l为套紧的．IV关键词：二部距离正则图余弦序列特征值2．齐次AbstractThisthesismainlystudiesaboutaninequalityinvolvingthecosines

5、equencesofthebipar-titedistance-regulargraphswhicharethespecialclass，andtherelationshipbetweenequalitybeingattainedandthepropertiesofdualbipartiteonQ-polynomialstructures．Moreover,weinvestigatethepropertiesoftheeigenvaluesandthepseudocosinesequences，whichareaboutthe

6、2-homogeneousbipartitedistance-regulargraphs．Thethesisisdividedintofivesections．Insection1，weintroducethebasicconceptsandproperties．Insection2，weshowtheinequalityinvolvingthecosinesequencesofthebipartitedistance—regulargraphs．Theconclusionisasfollow．·Letr=(X，R)denot

7、eabipartitedistance-regulargraphwithdiameterd≥3，anddgenvalues00>01>⋯>钆．SupposeEisaprimitiveidempotentofr，0istheeigenvalueassociatedwithEandor0，％⋯，crdisthecosinesequenceof0．Then，forallintegersi(1≤i≤d一1)，盯p一以以+1)一晚(1一《2)2以一l(巧吼一cri+1)．Insection3，weobtainallnecessaryan

8、dsufficientconditionoftheaboveequalitybeingattained．neconclusioniS缎follow．·Letr=(X，R)denoteabipartitedistance—regulargraphwithdiameterd≥3，