数列习题2013.4.16

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1、数列经典题目1.设数列{a},a=2,a=a2−a+1,n=1,2···,n1n+1nn1111证明:1−<++···+<1.(kuing),(tieba)20082008a1a2a20082.已知数列首项a=3,满足递推关系a=a2−2,(n>1),求数列a的通项公式.(kuing),(tieba)1n+1nn4an−2an−1n为奇数3.已知a0=1,a1=1,an+1=,求an.(kuing)an+3an−1n为偶数an+1,n为偶数1924.数列{an},a1=1,且当n>2时,an=1,若an=,则正整数n=.....(),n为奇数11an−1(A)112

2、;(B)114;(C)116;(D)118.(kuing),(pep)5.已知{a}满足:a=2a2−1(n∈N∗)nnn−11(1)若a0=,求{an}的通项公式;3(2)若a0=3,求{an}的通项公式.(kuing)6.数列{an}中,已知a1=2,且对一切正整数n都有an+1=a1a2···an+1.11111111求证:+++···+>+++···+对一切正整数n均成立.(kuing)a1a2a3an2482n7.各项均为正数的数列{an}，a1=a，a2=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q都有am+anap+aq=(1+am)(1+an)(1+ap)(1+

3、aq)证明:对任意a,存在与a有关的常数λ,使得对于每个正整数n,都有16a6λ.(kuing)n1+an8.数列{an}满足a1=2,an+1=,求{an}的通项.(kuing)1−an9.已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,且当n>5时,an+1=a1a2···an−1,若数列{b}满足对任意n∈N+,有b=aa···a−a2−a2−···−a2,则当n>5时b=?(kuing)nn12n12nn∗11110.数列{an}满足a1>1,an+1−1=an(an−1),且(n∈N),++···+=2,求a2013−4a1a1a2a2012的最

4、小值.(kuing)1∗11.数列{an}满足a1>1,an+1=an+2,(n∈N),求证:{an}无上界.(kuing)an1∗12.数列{an}满足a1=1,an+1=an+2,(n∈N),求证:303)恒满足:+++···+a1a2a3a2a3a4a3a4a51(k+1)ak−2=,求数列{an}的通项公式.(kuing)ak−2ak−1ak4ak−

5、1ak√15.对于正整数n,最接近n的正整数设为an,又设bn=an+n,从全体正整数中除去所有bn(n=1,2,3,···),余下的正整数按从小到大的顺序排列得{cn},求{cn}的通项公式.(kuing),(pep)2[√][]16.已知{xn}满足x1=1,xn+1=4xn+xn11,求x2013的个位数字.其中x表示对x取整.(kuing)(1−2a)a21n−2n−117.设a1=a2=,且当n=3,4,5,···时,an=22,32an−1−4an−2·an−1+an−2(1)求数列{an}的通项公式,1(2)求证:−2是完全平方数.(kuing),(tieba)an1

6、8.数列{a}满足a=3a−3a2.nn+1nn1223(1)若a1=,求证:2),求{an}的通项公式.93an+an−1an+an−1(tieba),√20.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=a(a>0).且满足an+1=a2+aSn+Sn2,求数列{an}的通项公式.(tieba),(tieba)121.设无限数列a1>a2>a3>···的各项的和为1,其中a1=(k是给定的大于1的自然数).求证:2k可以找

7、到k个项,其中最小的数大于最大的数的一半.(tieba)22.在数列{a},n∈N∗中,已知a=1,a=−a,a=(−1)k+1a,k∈N∗,记数列{a}的前n项n12kk2k−1kn和为Sn.(1)求S5,S7的值;∗(2)求证:对任意的n∈N,有Sn>0.(kuing)23.已知:a=1,aa−2n2(a−a)+1=0,求a.(kuing)1n+1nn+1nn24.已知:a0=2，a1=2，a2=6,且对n>3有an=(n+4)an−1−4nan−2+(4n−8)