平面P波在自由界面上的反射

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1、2011年6月应用数学与计算数学学报第25卷第1期Jun．，2011C0MMUN．APPL．MATH．C0MPUTVo1．25No．1文章编号：1006—6330(2011)01—0080—10平面P波在自由界面上的反射豆艳萍，徐玉兰，汤忠飞(上海大学理学院，上海200444)摘要一般情况下，入射P波在自由界面上的反射波中既包含一个反射P波，也包含一个反射SV波．通过对反射系数的数学分析，得到当泊松比∈(0，1)时，反射波中只出现其中一种波(特别是只出现S波)的情况．关键词平面P波；泊松比；自由界面；反射；弹性动

2、力学方程组2010数学分类号35L05中图分类号O175．27；O343．2文献标志码AReflectionofplane-P-wavesatfreeinterfaceDOUYan-ping．XUYu-lan．TANGZhong—fei(CollegeofSciences，ShanghaiUniversity，Shanghai200444，China)AbstractIngeneral，thereflectionofincidentP—wavesbothcontainsareflectiveP—wavesandS

3、V—wavesatfreeinterface．Basedonthemathematicalanalysisofthereflectioncoeficient，wediscussthesituationofappearingonlyonetypeofthesewaves(S—wavesappearsonlyinparticular)whilethePoisson’Sratio∈(0，1)．Keywordsplane—P—waves；Poisson’Sratio；freeinterface；reflection；el

4、astic—dynamicsequations2010MathematicsSubjectClassification35L05ChineseLibraryClassificationO175．27；O343．21预备知识及主要结果对于均匀、各向同性的三维弹性体，设其密度为P，弹性模量为E，泊松比为，则其满足胡克定律J=Ae+2Gez，=Ae+2G￡，盯=Ae+2Ge【=G，=GTy，"rxz=GTz，式中，=，G=E面，，E，￡z分别为x,y，名方向的正应变，(Tx，z分别为x,y，Z方向的正应力，，，表示相应

5、各轴之间的剪应变，，，为相应各收稿日期：2011—03—03；修订日期：2011—03—05通信作者：豆艳萍(1976一)，女，博士，研究方向为双曲型偏微分方程．E—mail：dyp59@163．coin第1期豆艳萍，等：平面P波在自由界面上的反射81轴之间的剪应力，e=E+E+s为体积膨胀率．考虑体积力为0的弹性动力学基本方程组为入+G)+G△“=pC02U，+G)骞+GAv=p，(1．)+G)塞+CA=p02W，式中，(U，，W)：(u(t，，Y，名)，v(t，，Y，)，叫(，，Y，))为位移函数，与各应变有

6、如下关系成立：rOu踟Ow【协Ou毳+by，￡翟z7zu：+杀一，～z一Ox十丝一Oz．··当弹性波为平面波时，即波前为平面，其上各点的振动情况均相同．如果所有质点的运动方向都平行于波的传播方向，称为纵波；如果所有质点的运动方向都垂直于波的传播方向，称为横波．为确定起见，设波的传播沿方向．在纵波的情形，有V=叫=0，且只是x,t的函数．由弹性动力学基本方程组(1．1)，得一Ot2一iP象，’(1．2‘)式中，c1=、／／等=·／盟(1+／~)(1-2p,)p为传播速度．由式(1．2)所描述的这种波在地震学中常被称

7、为P波【剁．横波的情形，可分为2种情况：(1)U=W=0，V是z，t的函数(2)U=V=0，W是，t的函数．相应的弹性动力学基本方程组分别为a0I9Va0W20WL-或一cox2’在地震学中，情况(1)称为SH波，而情况(2)称为SV波[。，它们的传播速度均为c==．对于JF)波，适当选取轴，波前可取为垂直于xOz平面的平面，从而波的前进方向落在xOz平面上，且有V=0，而，W均只是，Z及t的函数．如图1中所示，假设一个P波沿AO方向入射到界面=0上，AO与X轴的夹角记为e，与轴的夹角记为i，i称为入射角，且有e

8、+i=．由于P波速度为C1，而波前为垂直于AO线的平面，故波前在方向移动的速度，即视速度为C：C1sece．82应用数学与计算数学学报第25卷0＼1r图l平面P波在界面z=0上的反射取标量势满足相应的波动方程，，：。△，就可由(“，，W)=gradg~得到一个膨胀波．特别地，对入射P波，可取A1e(。件“一=，对反射P波，则可取A2e％(。一“一=，式中，1，A2，为常数