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1、第四章常系数线性方程组与方程定定定理理理1.矩阵X(t)=eAt是齐线性方程组(1)的标标标准准准基基基解解解矩矩矩阵阵阵,即X(t)是基解矩阵,且X(0)=E.常系数线性方程组的解可利用矩阵理论的知识得到证证证明明明:由定义知X(0)=E并且完全的解决.3At02A2考虑常系数齐线性微分方程组X_(t)=(e)=A+At+t+¢¢¢2!·¸dxA2=Ax(1)=AE+At+t2+¢¢¢=AX(t)dt2!和常系数非齐线性方程组故X(t)是的解矩阵.再由detX(0)=1知X(t)是基解矩阵.dx=Ax+f(t)(2)dt推
2、推推论论论2.齐线性方程组(1)的通解为其中x=[x;¢¢¢;x]T,A=[a]是常数阵,f(t)是tAt1nijn£nx(t)=ec;c为任意常向量;的连续函数.满足初始条件x(t0)=x0的解为x(t)=eA(t¡t0)x:1常常常系系系数数数齐齐齐线线线性性性方方方程程程组组组的的的矩矩矩阵阵阵指指指数数数函函函0推推推论论论3.非齐线性方程组(2)的通解为数数数方方方法法法Ztx(t)=eAtc+eA(t¡s)f(s)ds;c为任意常向量;对于任意实矩阵M=[mij]n£n,其模取为t0Xn满足初始条件x(t0)=x
3、0的解为kMk=jmijj;Zti;j=1x(t)=eA(t¡t0)x+eA(t¡s)f(s)ds:(5)0则任意n阶矩阵A;B和数c有:t0思思思考考考题题题1.设A是n阶实矩阵,¸(A)是A的特征值,求kcAk=jcjkAk;kA+Bk·kAk+kBk;kABk·kAkkBkdeteA;deteAt;¸(eA).a特殊情况下,可直接计算eAt.设a是实数,则e有幂级数表示:23X1k2ma1aaaa6..7e=k!=1+a+2!+¢¢¢+m!+¢¢¢例例例1.考虑对角阵A=4.5,则由定义(4),k=0an对于n阶矩阵A
4、,定义矩阵指数eA或expA如下:2323at1at212!1X1AkA2AmeAt=E+6..76..7A4.5+4.5e==E+A++¢¢¢++¢¢¢(3)k!2!m!at1at2k=0n2!n23a1tAme其中E为n阶单位阵,规定A0=E;0!=1.由于kk·mPmm!+¢¢¢=6..7kAk,数项级数1kAk=(n¡1)+ekAk,故eA对4.5:m!k=0m!Aeant所有A都绝对收敛.因此,e是一个确定的矩阵.·¸021例例例2.求x=的基解矩阵.性性性质质质1.(a)如果矩阵A,B可交换,即AB=BA,则eA
5、+B02=eAeB;解:因为(b)对任意矩阵A,eA可逆且(eA)¡1=e¡A;·¸·¸·¸212001¢T¡1AT¡1AA==+=2E+N;(c)若T可逆，则e=TeT.020200进一步，对矩阵A,可定义矩阵指数函数eAt或expAt且2E与N可交换,即(2E)N=N(2E).由性质1(a)如下:得:eAt=e2Et+Nt=e2EteNt=e2teNt:X1AkA2AkeAt=tk=E+At+t2+¢¢¢+tk+¢¢¢(4)2Nt因N是幂零阵,即N=0,故e的级数展开仅含两项:k!2!k!k=0·¸·¸Nt20t1tAk
6、kAkkP1kAkkke=E+Nt+Nt+¢¢¢=E+00=01:由于对任意k,kk·,幂级数t在任何k!k!k=0k!有限区间上一致收敛,故eAt是矩阵A的指数函数.·¸1t因此得基解矩阵eAt=e2t:011注注注1.设X(t)是方程组(1)的一个基解矩阵,则eAt=故23¡1eJ1tX(t)X(0).一般地,设©(t);ª(t)是方程组(1)的两个基解矩阵,则存在非奇异矩阵C使得©(t)=ª(t)C.(请Jt6..7e=4.5:(9)自证)eJmt¡1At再由性质1(c)知eJt=eTeT=T¡1eAtT;得2矩矩矩阵
7、阵阵指指指数数数函函函数数数的的的结结结构构构(Jordan标标标eAt=TeJtT¡1:(10)准准准形形形方方方法法法)由矩阵论知识,对任意实n阶方阵A,存在非奇异变换3常常常系系系数数数线线线性性性方方方程程程组组组解解解的的的渐渐渐近近近性性性质质质阵T将A化为Jordan标准形,即:23由eAt的表达式可得常系数线性方程组解的稳定性和J1渐近性质的重要结论.根据(8){(10),eAt的元素均为形¡16..7TAT=J=4.5如p(t)e¸it的函数的线性组合,p(t)是t的阶次不高于nJm的多项式.下面对于¸的不
8、同情况讨论eAt的性质.i(i)A的特征值均有负实部,即对每个i,¸i=®+i¯其中约当块Ji为ni£ni阶方阵;i=1;¢¢¢;m;n1+¢¢¢+且®<0.此时p(t)e¸it=p(t)e®tei¯t.由于jei¯tj=1,用nm=n;®t¸it洛必达法则得limt!+1p(t)e=0.
