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1、同学们好同学们好20102010--0303--2424Shen刚体力学基础§§33--22定轴转动定律转动惯量rrr大小一、对转轴的力矩一、对转轴的力矩M=r×F方向二、定轴转动定律二、定轴转动定律M=Jβz2转动惯量：J=∑Δmrii物理意义----描述物体转动惯性的大小rrm是物体平动惯性的量度⎧F=maJ是物体转动惯性的量度比较⎨r⎩Mz=JβF改变物体平动状态的原因M改变物体绕轴转动状态的原因zP.2/46Shen刚体力学基础三、转动惯量三、转动惯量(momentofinertia)221.定义J=∑rm单位:kg⋅miii刚体对定轴的转动惯量等于其
2、各质点的质量与该质点到转轴距离的平方之积求和.⎧ρdV体分布若质量连续分布2⎪J=∫rdmdm=⎨σdS面分布⎪⎩λdl线分布2.计算刚体的总质量(同分布M>m,J>J)Mm影响J的因素刚体质量分布(同m,J中空>J实)转轴的位置P.3/46Shen刚体力学基础例例2.2.由长l的轻杆连接的质点如图所示,求质点系对过A垂直于该平面的轴的转动惯量.4m解：由定义式lm2m3m2J=∑rimillAil5m222J=2ml+3m(2l)+(4m+5m)(2l)2=32ml思考：A点移至质量为2m的杆中心处J=?P.4/46Shen刚体力学基础例例3.3.一长为L的
3、细杆,质量m均匀分布,求该杆对垂直于杆,分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量.解:(1)轴过中点22dmxJ=∫∫rdm=xdmLL−LoL22x2mm1322=∫xdx=x−LLL3−L22m1⎛L3L3⎞1(2)轴过一端端点2=⎜+⎟=mL⎜⎟L3⎝88⎠12J=∫∫r2dm=x2dmLM2=∫xdxdmx0LoxLm13L12=x=mLL303P.5/46Shen刚体力学基础例例4.4.求质量为m、半径为R的圆环对中心垂直轴的转动惯量.解:圆环上取微元dmm2=R2dm2ORJ=∫rdm∫=mR02πRmdmm122另解J=R∫dl=Rm02πR思考1
4、.环上加一质量为m1的质点,J1=?J=mR2+mR211思考2.环上有一个Δx的缺口,J2=?mOR22J=mR−ΔxR22πRΔxP.6/46Shen刚体力学基础例例5.5.求质量为m、半径为R的均匀圆盘对中心垂直轴的转动惯量.P.77例3-3解:圆盘上取半径为r宽度dr的圆环作为质量元dmRdr22rJ=mR→dJ=rdmOO环mdm=σdS=2πrdr2πR2mJ=r⋅2πrdr∫2πR2mR132=2∫rdr=mRR02P.7/46Shen刚体力学基础匀质实心球对心轴的转动惯量？1212J=mR→dJ=rdm盘222dm=ρdV=ρπrdy222r=
5、R−yR1222J=∫ρπ(R−y)dy2−RR1m422422J=⋅3⋅π∫(R−2Ry+y)dy=mR24πR/35−RP.8/46Shen刚体力学基础注意注意::对同轴的转动惯量才具有可加减性。平行轴定理:若刚体对过质心的轴的转动惯量为J,则c刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量J是zJ=J+md2JJzczcRR12J=mRcm212232Jz=mR+mR=mRz22正交轴定理yo对平面刚体J=J+JzxyxP.9/46Shen刚体力学基础几何形状不规则的刚体的转动惯量,由实验测定.几种常见刚体转动惯量(P.78表3-1)+P.10/46Shen刚
6、体力学基础4.回转半径(radiusofgyration)设物体的总质量为m,刚体对给z定轴的转动惯量为J,则定义物体对该转轴的回转半径r为：GJr=rGGm由此得:J=mr2G意义：等价于物体质量集中在回转半径为r的圆环上的刚体对中心轴的G转动惯量.P.11/46Shen刚体力学基础例例6.6.计算钟摆的转动惯量.(已知摆锤质量为m,半径为r,摆杆质量也为m,长度为2r)解：摆杆转动惯量O2r1()242J=m2r=mr133rr摆锤转动惯量212()2192J=J+md=mr+m3r=mr2c2242192652J=J+J=mr+mr=mr12326P.1
7、2/46Shen刚体力学基础例例7.7.质量为M=16kg的实心滑轮,半径为R=0.15m.一根细绳绕在滑轮上,一端挂一质量为m的物体.设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动,求：N(1)由静止开始1秒钟后,物体下降的距离;(2)绳子的张力.M解：：对轮、物受力分析如图T12a由转动定律TR=Jβ=MR⋅2RMgm由牛顿定律mg−T=mammg8×10−2mga===5m⋅sm+M28+812121h=at=×5×1=2.5mT=×16×5=40N222P.13/46Shen刚体力学基础变形问题：Nm>m21m2g−T2=m2a1MR2J=MRT−mg=ma2111
8、TTa=Rβ12TR−TR=Jβ21M
