北京大学数学物理方法(上)课件_1 复变函数

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1、PartI复变函数1复变函数1.1复数及其运算规则复数的引入考虑二次方程Ax2+Bx+C=0其通解为pBB24ACx=2A当4AC>B2时,便会出现复数pBi4ACB2x=2A虚单位i2=1(1)为1的平方根中的一个,称为虚虚虚单单单位位位复数z=x+iy定义为满足以下运算规则的一对有序实数(x;y):加法(x1;y1)+(x2;y2)=(x1+x2;y1+y2)(2a)乘法(x1;y1)(x2;y2)=(x1x2y1y2;x1y2+y1x2)(2b)复数域所有复数的集合,记为C.实部Rez=x虚部Imz=y相等z=0()x=y=0(3a)z1=z

2、2()x1=x2&y1=y2(3b)代数运算作为代数,复数运算遵从一般的代数运算规则1.加法交换律z1+z2=z2+z12.加法结合律z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z33.乘法交换律z1z2=z2z14.乘法结合律z1(z2z3)=(z1z2)z35.乘法对加法的分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3加上复数虚单位i的性质(1)即可完全确定复数的运算.1代数运算举例1.加法(减法)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2)+i(y1y2)(4)2.乘法z1z2=(x1+iy1)
(x2+iy2)=(x1x2y1y2)+i(x1y

3、2+x2y1)(5)3.除法(z26=0)z1x1+iy1=z2x2+iy2x1+iy1x2iy2=
x2+iy2x2iy2x1x2+y1y2x2y1x1y2=+i(6)x22+y22x22+y22其中x2iy2为z2=x2+iy2的复共扼pExample1.1求w=z,即w2=z.复数的平方根设z=a+ib,w=x+iy.满足(x+iy)2=a+ib即(x2y2)+i(2xy)=a+ib必须x2y2=a2xy=b解得(b0)0ss1ppa+a2+b2a+a2+b2w=@+iA22或(b<0)0ss1ppa+a2+b2a+a2+b2w=@iA

4、22Example1.2求解z4+i=0.Solution令z2=w.则w2=i.代入公式,令a=0及b=11iw=pp222ppp先考虑方程z2=(1i)=2.同样,代入公式,令a=1=2及b=1=2,得两解pppp!1+21+2z=i23=423=4另两解为pppp!1+21+2z=+i23=423=4Theorem1.1.设z为复数.则总存在另一复数w为其平方根,使得w2=z.Notew为其另一个平方根.Theorem1.2(代数基本定理).任一n次(复数)多项式(n>0)都有一个复数根.1.2复数的几何表示复数的几何表示一个复数可

5、用复平面(也用C表示)上的一个点表示.还可以表示为复平面的一个矢量.yzOx复数不能比较大小实数域是有序域有序域=f0;正数;负数g可得,8a2有序域;a2=a
a0但复数域C有i2=1.复数加法的几何意义3根据复数的加法规则,可以看出复数加法的几何意义:矢量相加的平行四边形法则yz+z0z0zOx直角坐标(x;y)到极坐标(r;)yzrOx(x=rcos(7)y=rsin直角坐标(x;y)到极坐标(r;)(cont.)z=x+iy=r(cos+isin)(8)p模jzj=r=x2+y2辐角argz=辐角的多值性4yyyrrr2+2O

6、xOxOx=p+2k(k=0;1;2;:::)主辐角p为辐角的主值(<p)Example1.3把下列关系用几何图形表示出来1.arg(1z)=02.arg(1+z)=33.arg(z+1i)=2等式的几何表示复数z=x+iy代表复平面上的一点,复数的一个等式关系则通常代表复平面上的一段曲线.1.1z为复平面上两矢量1和z之差,1z沿x轴,所以z应在x轴上且小于1.2.1+z则为复平面上两矢量z和1之差,1+z辐角60,为1点引出的一条射线.3.z+1i为z与1+i之差,所以为由1+i引出平行y轴的一条射线.yyy1+i

7、O1x1OxOxarg(1z)=0arg(1+z)=arg(z+1i)=32复共扼复共扼z=(x+iy)=xiy(9)复共扼是一个相互关系(z)=z(10)5显然(z+z)=z+z(11a)1212(zz)=zz(11b)1212z1z1=(11c)z2z2复共扼z的几何表示yz=x+iyOxz=xiy如图argz=argz(12)我们有z
z=(x+iy)(xiy)=x2+y2=jzj2(13)以及zz1=(14)jzj2复数相乘z1z2=r1(cos1+isin1)r2(cos2+isi