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《ch4.1.2复数项级数和复变函数项级数,幂级数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第四章第四章复变函数项级数复变函数项级数§4.1复数项级数与复变函数项级数§4.2幂级数§4.3泰勒级数§4.4洛朗级数作业：P1381(2)(4)，4(2)(4)(5)，4,5,6(2)(4),9,11,12(2)(3)(6),13(2)(3),18(1)(3)(7),20(2)(4)TT211复习常数项级数21常数项级数的概念、性质与收敛原理1．引言：2芝诺悖论2.定义设sn=a1+a2+⋯+an,若limsn存在，则称级数n→∞∞∞∑∑an收敛，否则称∑∑an发散.n=1n=1∞∆a=lims∑∑nnn→∞n=1∞∞若∑∑an收敛，令R=s−s=∑∑a称
2、为原级数的余项nnkn=1k=n+1关于定义的说明：1.无穷级数是以加法形式出现的极限问题。如果仅停留在其形式——加法的层面上，就不能准确理解无穷级数的概念。∞无穷级数的记号∑an仅是一个形式上的记号。n=12.正由于无穷级数的实质是极限，故有极限是否存在的问题，从而相应地也有无穷多项相加是否有和的问题。3.也正是由于无穷级数的实质是极限，加法的性质可以无条件地平移到无穷级数上来。∞1例1判定∑∑ln(1+)的敛散性n=1n∞n2例2判定等比级数的敛散∑∑aq=a+aq+aq+⋯+n=03．级数的性质：∞∞~1.设∑∑an=s,∑∑bn=s，则n=1n=1∞∞
3、∞1）∑∑(a±b)=s±~s2）∑can=c∑an(c∈R)nnn=1n=1n=1∞∞3）若an≤bn，则∑∑an≤∑∑bnn=1n=12．删去、添加或改变有限项不改变级数的敛散性.3．收敛级数加括号后仍收敛且和不变.∞4．设∑∑an收敛，则n=11）liman=02）limRn=0n→∞n→∞常数项级数审敛准则定理1.1（Cauchy收敛原理）∞∑∑an收敛⇔∀ε>0,∃N∈N+，使得∀P∈N，当n>N+n=1n+ρ时，恒有∑∑ak<εk=n+1例3判定下列级数的敛散性∞∞(−1)n−111）∑∑2）∑∑调和级数nnn=1n=12正项级数的审敛准则∞定理1
4、.2（基本定理）∑∑an收敛⇔{s}上有界n∞n=1若∑∑an发散，则sn→+∞n=1∞∞定理1.3（比较法）设∑∑an与∑∑bn是两个正项级数，且n=1n=1∞∞an≤bn则1）∑∑bn收敛⇒∑∑an收敛n=1n=1∞∞2）∑∑an发散⇒∑∑b发散nn=1n=1定理1.4（比较法的极限形式）∞∞ab∑∑alimn=λ设∑∑n与n是两个正项级数，且，则n=1n=1n→∞b∞∞n1）当0<λ<+∞时，∑∑an与∑∑bn同敛散n=1n=1∞∞2）当λ=0时，∑∑bn收敛⇒∑∑an收敛n=1∞n=1∞b∑∑an3）当λ=+∞时，∑∑n发散⇒发散n=1n=1an+1定
5、理1.6（比值法）若lim=λ，则n→∞an∞1）当λ<1时，∑∑an收敛n∞=12）当λ>1时，∑∑an发散n=1定理1.7(根值法)若limna=λ，则nn→∞∞∞1）当λ<1时，∑∑an收敛2）当λ>1时，∑∑an发散n=1n=12.变号级数审敛准则∞n−11．交错级数∑∑(−1)an=a1−a2+a3−a4+⋯(an>0)n=1若1）an+1≤an2）liman=0n→∞∞n−1则∑∑(−1)an收敛.且Rn≤an+1n=12.任意项级数∞∞定理1.9（绝对收敛准则）∑∑an收敛⇒∑∑a收敛nn=1n=1∞∞绝对收敛:若∑∑an收敛，则称∑∑a绝对收敛
6、nn=1∞∞n=1∞条件收敛:若∑∑an收敛，∑∑an发散，则称∑∑an条件收敛n=1n=1n=1第一节复数项级数与复变函数项级数1.1复数列的极限αn=1,2,⋯为一复数列，α为一确定的复数.若定义4.1设{n}()∀>ε0.∃N, n>N时，恒有α−α<ε,则称复数列n{αn}收敛于α,并称α为当n→∞时复数列{an}的极限，记作limα=α, α→α(n→∞)nnn→∞定理4.1（复数列收敛的充要条件）复数列{αn}={an+ibn}收敛于复数α=a+ib⇔lima=a,limb=b.nnn→∞n→∞定理4.2（柯西收敛原理）复数列{an}收敛⇔∀>ε
7、0.∃N, n>N时，∀∈pN+, a−a<ε.np+n1.2复数项级数∞定义4.2（复数项级数）∑∑αn=α1+α2+⋯+αn+⋯n=1s=α+α+⋯+α部分和n12n∞级数收敛：lims=s记作∑αn=snn→∞n=1定理4.3（级数收敛的充要条件）∞∞∞∑∑ααn(n=an+ibn)收敛⇔∑∑an ∑∑bn均收敛.n=1n=1n=1说明：复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题∞1⎛i⎞例1级数∑⎜1+⎟是否收敛？n=1n⎝n⎠∞推论4.1（复数项级数收敛的必要条件）∑αn收敛⇒limn→∞αn=0n=1∞in∑e（逆不真，但逆否命题成立）例如
8、n=1发散定理4.4（复数项级数的柯西
