第三章 空间向量与立体几何

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1、第三章空间向量与立体几何[基础训练A组]一、选择题1．下列各组向量中不平行的是（）A．B．C．D．2．已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（）A．B．C．D．3．若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）A．B．C．或D．或4．若A，B，C，则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形5．若A，B，当取最小值时，的值等于（）A．B．C．D．6．空间四边形中，，，则<>的值是（）A．B．C．－D．二、填空题1．若向量，则__________________。2．若向量，则这两个向量的位置关系是________

2、___。3．已知向量，若，则______；若则______。4．已知向量若则实数______，_______。5．若，且，则与的夹角为____________。6．若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则________________。7．已知空间四边形，点分别为的中点，且，用，，表示，则=_______________。8．已知正方体的棱长是，则直线与间的距离为。空间向量与立体几何解答题精选（选修2--1）1．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。（Ⅰ）证明：面面；（Ⅱ）求与所成的角；（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小。证明

3、：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为.（Ⅰ）证明：因由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.（Ⅱ）解：因（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使要使为所求二面角的平面角.2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,平面底面．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小．证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.（Ⅰ）证明：不防设作，则，，由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直.∴平面.（Ⅱ）解：设为中点，则，由因此，是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小为3．如图，在四

4、棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点.（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，并求出点到和的距离.解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为、、、、、，从而设的夹角为，则∴与所成角的余弦值为.（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则，由面可得，∴即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.4．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求点到平面的距离.解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，设.∵为平行四边形，（II）设为平面的法向量，的夹角为，则∴到平面的距离为5．

5、如图，在长方体，中，，点在棱上移动.（1）证明：；（2）当为的中点时，求点到面的距离；（3）等于何值时，二面角的大小为.解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则（1）（2）因为为的中点，则，从而，，设平面的法向量为，则也即，得，从而，所以点到平面的距离为（3）设平面的法向量，∴由令，∴依题意∴（不合，舍去），.∴时，二面角的大小为.6．如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，，已知，求：（Ⅰ）异面直线与的距离；（Ⅱ）二面角的平面角的正切值.解：（I）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系.由于，在三棱柱中有,设又侧面，

6、故.因此是异面直线的公垂线，则，故异面直线的距离为.（II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角.7．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点，.已知求（Ⅰ）异面直线与的距离；（Ⅱ）二面角的大小.解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系.由已知可得设由，即由，又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线,的距离为.（Ⅱ）作，可设.由得即作于，设，则由，又由在上得因故的平面角的大小为向量的夹角.故即二面角的大小为