③竞赛中的三角形问题

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1、Y.P.M数学竞赛讲座1竞赛中的三角形问题高中联赛中的向量问题具有纯粹性,着重于对向量本质特征--“数形二重性”的考察,需要充分挖掘蕴含的几何本质.一、知识结构存在性定理:在△ABC中,己知cosA、cosB,则△ABC有解cosA+cosB>0.证明:△ABC有解C有解A+B有解0cos(π-B)cosA>-cosBcosA+cosB>0.解的个数定理:在△ABC中,己知sinA、cosB,其中sinA,cosB∈(0,1),则:(i)△ABC有一解sin2A+cos2B≤1;(ii)△ABC有二解sin2A+cos2B>1.证明:△ABC有解角C有解si

2、nC>0sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+()()=sinAcosB>0.所以当sin2A+cos2B≤1时,只有一解;当sin2A+cos2B>1时,有两解.等价命题:在△ABC中,己知二边a,b(b≤a)及其中一边b的对角B,则△ABC有两解、一解或无解函数f(x)=x2-2acosBx+a2-b2分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根).证明:在△ABC中,b2=a2+c2-2accosB,所以,△ABC有两解、一解或无解关于c的方程:b2=a2+c2-2accosB有两正根、一正根或无正根(含无实根)函数f(x)=x2-2ac

3、osBx+a2-b2分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根).数列命题:在△ABC中,(i)如果a、b、c成等比数列,则B∈(0,];(ii)如果a、b、c成等差数列,则B∈(0,];证明:(i)a、b、c成等比数列ac=b2cosB==≥=B∈(0,];(ii)a、b、c成等差数列a+c=2bcosB===≥=B∈(0,].Stewart定理:若点P是△ABC的边BC上一点,则PC×AB2+PB×AC2=BC×PA2+PB×PC×BC.A证明:设∠APB=α,则∠APC=π-α,则在△ABP中,AB2=PA2+PB2-2PA×PBcosα,在△APC中,AC2=PA2+PC2-2

4、PA.PCcos(π-α)AC2=PA2+PC2+2PA×PCcosαPC×AB2+PB×AC2=BC×PA2+BPCPB×PC×BC.由此可求三角形的中线和角平分线.二、典型问题1.正弦定理[例1]:(2006年第十七届希望杯高二数学竞赛试题)△ABC的三个内角为A,B,C,且2C-B=1800,又△ABC的周长与最长边的比值为m,那么m的最大值为.[解析]:[类题]:1.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)△ABC中,已知(CA+AB):(AB+BC):(BC+CA)=4:5:6,则sinA:sinB:sinC=___.2.(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在

5、△ABC中,若sin2A-sin2B-sin2C=0,且sinA=2sinBsinC则△ABC是()(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形3.⑴(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)在△ABC中,若tanA=,tanB=,且最长的边的长为1,则最短边的长等于.2Y.P.M数学竞赛讲座⑵(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanA=,cosB=.若最长的边为1,则△ABC最短边的长为.4.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)如图,在△ABC中,已知∠B=400,∠BAD=300.A若AB=CD,则∠

6、ACD的大小为(度).BDC5.(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)设△ABC内接于半径为R的⊙O,且AB=AC,AD为底边BC上的高,则AD+BC的最大值为_____.6.(2005年全国高中数学联赛江西初赛试题)△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,则使等式sin2+sin2+sin2=cos2成立的充要条件是()(A)a+b=2c(B)b+c=2a(C)c+a=2b(D)ac=b22.余弦定理[例2]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有____种.[解析]:[类题]:1.(2005年全国高中数学联赛北京初赛试题)设在

7、△ABC中,AB=+,∠ACB=300.则AC+BC的最大值是.2.(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)一个三角形的三边长恰为m2+m+1,2m+1,m2-1,则这个三角形的最大角为.3.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)△ABC的三边之长a,b,c满足等式=b,则长为b的边所对应的角B的大小是.4.(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)在平面直角坐标系xOy中,直