数学竞赛中的椭圆问题

《数学竞赛中的椭圆问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、数学竞赛中的椭圆问题韩保席江苏省吴江市高级中学(215200)例1(2000年全国高中数学联赛)在椭圆(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.OAFB图1分析：的三边可用、、来表示，再用余弦定理或勾股定理来求角.解：由得，即.如图1有:，，而，易见，故∠ABF=90°.评注：本题着眼于考查椭圆的基本量在图中的表示.例2(1997年全国高中数学联赛)在平面直角坐标系中，若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为（）A．(0,1)B．(1,+C．(0,5)D．(5,+分析：如果把表达式配方成椭

2、圆标准式，由于含有项，需要对坐标轴进行旋转，而利用第二定义可以直接解决这一问题.解：由可得：，也即：，此式表示的是点到定点的距离与到定直线的距离之比为，由第二定义及椭圆的离心率范围得：，即.OPF1B图2F2例3（第12届希望杯高二试题）设是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使，则椭圆离心率的取值范围是：.分析：可先利用余弦定理和均值不等式判定P点位于短轴顶点B时最大，于是.解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为：、、如图2：在中，，即.这时，又椭圆离心率小于1，故所求的范围是.OAPB图3例4(2002年全国高中数学联赛)直线与椭圆相交于、两点，该椭圆上点，使

3、得△的面积等于3．这样的点共有（）A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个　　分析：作图后可以发现，若△的面积为3，则到的距离为即可.解：如图3，若在直线上方，设，则到直线的距离：，化简得：舍去.∴点不可能在直线的上方，显然在直线的下方有两个点.评注：恰当地利用椭圆的参数方程，可以使解题过程简明扼要.OAB图4CF2例5（1996年上海市高中数学竞赛）连结椭圆的右焦点与椭圆上的动点A，作正方形（、、、按顺时针排列）.则当点A沿椭圆运动一周后，动点C的轨迹方程是：.分析：如图4，C点可以看成是由绕点顺时针旋转90°后得到的.故用向量法，可方便解决.

4、解：设，易知则，所以，，令则消去参数有.评注：在解几中利用向量这一崭新有力的工具，可以减少推理过程，有效地降低思维量.ABNMF图5例6（1999年全国高中数学联赛题）给定已知B是椭圆上的动点，F是左焦点，当

5、BA

6、+

7、BF

8、取得最小值时，求B点坐标.分析：如果设B的坐标，用距离公式求

9、BA

10、+

11、BF

12、,则计算相当繁琐，而如果利用椭圆的第二定义把

13、BF

14、转化为B点到准线的距离就简单的多.解：由题意得,,.,左准线为过B点作左准线的垂线，垂足为点，再过点作左准线的垂线，垂足为点.由椭圆的第二定义得：

15、

16、=于是:

17、

18、+

19、

20、=

21、

22、+

23、

24、≥

25、

26、≥

27、

28、（

29、

30、长为定值）.当

31、且仅当点是线段与椭圆左面交点时等号成立.这时：可解得的坐标为（，2）.评注：在解决二次曲线问题时，第二定义的巧妙应用可以化繁为简，减少运算量.