9.5空间向量及其运算---习题课

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1、9.5空间向量及其运算---习题课*黄冈中学网校达州分校知识结构及要点小结黄冈中学网校达州分校例题解析例1已知a，b均为单位向量，它们的夹角为600，那么︱a+3b︱等于（）D．4分析：故正确答案为C．黄冈中学网校达州分校例2已知向量a，b．且则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D分折：要证明三点共线，需证明从同一点发出的两个向量共线．所以A，B，D三点共线．同理B，C，D三项错误．故正确答案为A．黄冈中学网校达州分校例3(2007·安徽)在四面体OABC中，

2、，D为BC的中点，E为AD的中点，则(用a，b，c表示)分析：本题主要考查向量的基本运算．如图所示，故应填黄冈中学网校达州分校例4如图(1)所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点．(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；(2)用向量法证明BD∥平面EFGH．分析(1)要证E，F，G，H四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x、y，使即可．(2)要证BD∥平面EFGH，只需证向量与共线即可．黄冈中学网校达州分校证明：(1)如图(2)所示，连结BG，E

3、G,则由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．又平面EFGH，平面EFGH，∴BD∥平面EFGH．利用向量证明平行、共面,比较以前纯几何的证明,显而易见用向量证明比较简单,这也正是几何问题代数化的特点.黄冈中学网校达州分校例5如图所示，在正方体ABCD---A1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求A1C1与DE所成的角．分析在正方体AC1中，要求A1C1与DE所成的角，只需求与所成的角即可．要求与所成的角，则可利用向量的数量积，只要求出及和即可．C黄冈中学网校达州分校解：设正方体棱长为m,

4、则又又即AC与DE所成的角为将线线角转化为两个向量的夹角；是解决这类问题的基本法黄冈中学网校达州分校例6如图所示，对于空间某一点O，空间四个点A，B，C，D(无三点共线)分别对应着向量求证A，B，C，D四点共面的充要条件是存在四个非零实数使且分析分清充分性和必要性，应用共面向量定理证明．黄冈中学网校达州分校证明：(必要性)假设A，B，C，D四点共面，∵A，B，C三点不共线，故两向量不共线，因而存在实数x、y.使即令则且黄冈中学网校达州分校(充分性)如果条件成立，则代入得：αa+βb+γc+δd=αa

5、+βb+γc-(α+β+γ)d=0即又为非零实数，不妨设则与共面，即A，B，C，D四点共面．(充分性)如果条件成立，则在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候,首先要选择恰当的充要条件形式,然后对照形式将已知条件进行转化运算.黄冈中学网校达州分校