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1、1．译文公路线形设计新方法：由单一的C形贝塞尔曲线（带形状参数）连接圆弧蔡华辉王国金（计算机图形图像研究所（中国杭州）；CAD和CG国家重点实验室（浙江大学））邮箱：chh@zju.edu.cn;gjwang@hzcnc.com版次：2008年4月8日，第一次修订：2008年6月23日，第二次修订：2009年2月9日摘要：我们为曲线连接两个圆弧构建了一个带形状参数的单一C形贝塞尔曲线。结果表明，S形缓和曲线比贝塞尔曲线管理的圆的半径范围更大，它没有曲率极值，然而C形缓和曲线有一个唯一的曲率极值。对于两种曲线，我们给出了具
2、体的运算法则并进行了详细介绍，给出了严格的数学证明，而且给出例子验证了该方法的有效性。该方法具有以下三个优点：（1）有统一的模式；（2）缓和曲线的形状根据参数不同可以调整是完全可行的；（3）缓和曲线仅仅是路线的一个小部分，该算法可归结为一个求解一个低阶方程的正根的问题。这些优势使该方法变得简单明了且易于实现。关键词：缓和曲线，C-Bezier曲线，曲率，形状参数代码:10.1631/jzus.A0820267文献标识码：A中图分类号：tp391.7简介在许多应用中，例如铁路线形设计、公路线形设计（Hartman，1957
3、；Baass，1984）以及像汽车一样的自动机械设备的路线规划（弗勒里等人，1995）中，在两段圆弧之间为联系设计一段缓和曲线是非常复杂而且非常重要的。一段理想的过渡曲线不应该包含任何的拐点，其弯曲度应随弧长变化逐渐增加/减少。在高速公路缓和曲线设计中使用回旋曲线的一个多年的传统（Hartman，1957）。然而，使用旋曲线设计在计算机辅助设计CAD中却很不方便，因为它是一个在菲涅耳积分中被定义了的超越函数。最近，许多科学家提议用三次B形缓和曲线和五次PH（Pythagorean-Hodograph）曲线作为缓和曲线设计
4、的替代品。（沃尔顿和温顺，1996；1996；1999；2002；2004；哈比，哈比和酒井先生，2007）。在一般情况下，一个缓和曲线由两段曲线组成，例如，两段回旋曲线，两个B形螺旋段，或两个PH五次螺旋段（米克和沃尔顿，1989；沃尔顿和温顺，1996；1996）。用两个三次贝塞尔形曲线或者两个PH五次螺旋段代替两个回旋曲线连接圆弧，可以有效地避免超越函数在CAD辅助系统中的限制。然而，在整个公路线形设计中，多项式算法必然被应用到，这将引进重量的概念并加大计算负荷。另一方面，重量在缓和曲线设计中是一个常数，不能被用来
5、调整缓和曲线的形状。除此之外，这将会带来一些设计上的麻烦并增加工程造价。重要的是要知道是否有一种带形状参数的缓和曲线适合被用来连接两段圆弧,要知道这种缓和曲线是否由单一的两个曲线段组成。众所周知,在当今的CAD系统中B曲线不能准确的表达圆锥曲线。为了避免这种约束,C-Bezier曲线被提出了(张,1996年)。带形状参数C-Bezier曲线可以准确表达圆锥曲线部分，包括圆弧和自由形式的曲线。所以它可以被用在道路的缓和曲线设计中。于过渡在C-B曲线模式下值得我们去统一圆弧和缓和曲线，利用形状参数修改缓和曲线形状从而保留曲线
6、的几何特征。显然，用一个单一曲线代替两段曲线来表示缓和曲线更加的方便,这也是值得探索缓和曲线只用用单一C-Bezier曲线表示的可行性性。实际上,一个单一的立方贝塞尔曲线或单一PH五次螺旋段代替两个片段已经被用在了缓和曲线的设计上。本文是完成这项成果后的一个总结。用一个单一直观的带形状参数的C形贝塞尔曲线来连接圆弧的算法被提出了。在S型的缓和曲线上没有曲率极值,但在C形缓和曲线上存在一个曲率极值。由于缓和曲线是一个带形状参数的曲线段,设计变得简单，曲线形状可以根据形状参数进行调整使用。更重要的是,在整个高速公路设计可以在
7、C-Bezier模型下得到统一,比使用贝塞尔曲线具有更广泛的适用范围。正文公式及定理所有的点、矢量在平面上表示为黑体,例如向量的长度表示让θ从矢量P向矢量Q逆时针旋转，假设测量所有角度时逆时针方向为正值,顺时针为负值。定义曲率κ(t)和它的导数κ′(t)参数曲线P(t)为：因此所以,当一个遍历曲线增加参数的方向,曲率是正的，否则曲率是负的。立方C-Bezier曲线：在区间上，以为基点，用作控制点的一种立方C-Bezier曲线被定义如下：很容易推出第一和第二扩展C-Bezier曲线的P(t)公式如下:设向量的矢量大小为1，
8、,相应的单位向量为Ti,相应的单位法向量满足右手坐标系，则：使θ从T0变到T1，ϕ从T1变化到T2角度。则有：那么,两个端点曲线P(t)为连接两个圆弧之间的C形贝塞尔缓和曲线的构建：给定Ωi(i=0、1)、Ci、ri。我们的研究旨在找到一个C-Bezier过渡曲线。假设r0≥r1定义在(WaltonandMeek,1
