第十一章质点动力学_理论力学

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1、第十一章质点动力学1.质点动力学的基本方程为矢量形式的微分方程为经常应用的为直角坐标形式和自然坐标形式的微分方程。2.质点动力学的两类问题★已知质点的运动规律，求作用于质点的力，通常是求约束力；★已知质点所受的作用力，求其运动规律。一般一个问题中同时包含以上两类问题。求解动力学问题，建立动力学微分方程是关键的一步。对质点的运动及受力作初步的分析后，应选定合适的坐标系，将质点放在任意位置上，画受力图，写出它所受主动力的函数式，然后建立相对应坐标系的运动微分方程。求解运动微分方程要根据初始条件确定积分常数，即质点的运动是由质点的受力和初始条件同时决定。3.质点相对非惯性参考系矢量形式的微分方程

2、为其中为相对非惯性参考系的矢径，为牵连惯性力，为科式惯性力。具体应用时取适当形式的投影方程。质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。本章根据牛顿第二定律建立了质点运动微分方程，应用此方程可求解质点动力学的两类问题。牛顿定律不适用于非惯性坐标系。本章应用复合运动的分析方法，建立非惯性坐标系与惯性坐标系运动量之间的关系，进而得到适用非惯性坐标系的动力学基本定律。§11-1质点运动微分方程1.动力学基本定律--牛顿三定律第一定律--惯性定律：任何质点如不受力作用，则将保持原来静止或等速直线运动状态。物体保持其运动状况不变的固有属性，称为惯性。质量为物体惯性的度量。第二定律--在

3、力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。即（11-1）在国际单位中，质量的单位为kg（千克），长度的单位为m（米），时间的单位为s（秒）。力的单位为N（牛顿）是导出单位：1N=1kg×1m/s第三定律--作用反作用定律：两物体之间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，并沿同一条直线分别作用在两个物体上。2.运动微分方程当物体受几个力作用时，式（11-1）的右端应为这几个力的合力。即（11-2）或（11-3）式（11-3）是矢量形式的微分方程，实际计算时，需应用投影形式。直角坐标形式微分方程（图11-1）（11-4）自然坐标形式的微分方

4、程（图11-2）（11-5）§11-2质点动力学的两类问题第一类问题：已知质点的运动,求作用于质点的力；第二类问题：已知作用于质点的力,求质点的运动。第一类问题比较简单，如已知质点的运动方程，只需求两次导数,代入微分方程，即可求解。第二类问题，从数学的角度看，是解微分方程或求积分的问题，积分需确定积分常数，积分常数由初始条件决定。在工程实际中，力一般比较复杂，有的是常力，有的则为变力，变力可表示为时间、速度、坐标等的函数。积分往往比求导数困难，当力的函数形式比较复杂时，只能求出近似的数值解。例11-1在简谐力作用下质点沿直线的运动质量为m的质点在已知力作用下沿轴运动，设时，，，求质点的运动

5、规律。解：这是一个求质点的直线运动规律的问题，已知力为时间函数。图11-3为质点在任意位置的受力图。质点的运动微分方程为：或上式可分离变量积分，由运动的初始条件，，确定积分的下限，即：得上式可分离变量积分，有得图11-4为质点沿x轴的运动图。例11-2抛射体在与速度一次方成正比的阻尼介质中的运动在重力作用下，以仰角、初速v0抛射出一物体。假设空气阻力与速度一次方成正比，方向与之相反，即为阻力系数。试求抛射体的运动方程。解：作用于质点上的为：重力（常力）和阻力（变力，速度的函数）。取直角坐标系如图示，坐标原点为质点开始运动的位置。列出质点直角坐标形式的运动微分方程：令，上式可写为：这是两个独

6、立的线性微分方程，一般解为：积分常数由运动起始条件时，，，确定，即求得将积分常数代入一般解后，得到质点的运动方程为：上式是以时间t为参数的轨迹方程。质点的速度公式为：由轨迹方程可看出当时，轨迹以铅垂线为其渐近线。如图11-6所示。由速度公式可看出质点在水平方向的速度不是常数，而是随时间的增加不断地减小，当时，，。所以当，质点将以其极限速度沿渐近线降落。图11-5中虚线为抛射体在真空中的运动轨迹，对于速度小、射程短的物体来说，忽略空气阻力的影响是合理的。但对于象导弹、火箭等高速、远射程的物体，如略去阻力，理论结果与实际情形就相差甚远。因此研究弹道问题时必须考虑空气阻力。实验证明，空气阻力值与

7、速度大小的n次方成正比，n又决定于速度大小的范围，可写成。比例系数决定于空气密度、物体的形状和迎风面面积。例11-3单摆的大摆动球磨机图11-7为一单摆。设球的质量为m，杆的质量不计，杆长为l。当杆在铅垂位置时，球因受冲击，具有水平初速v0。不计空气阻力，研究球的运动和杆对球的约束力。解：这是非自由质点动力学问题。本题应先由已知的主动力P求质点的运动规律，再根据求得的运动求未知约束力，故同时包含第一类问题和第二类问题。由