含圆形孔口和水平直裂纹的平面问题的应力分析_高健[1]

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1、第44卷第2期数学的实践与认识Vol.44No.2,2014MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYJan.2014年1月,含圆形孔口和水平直裂纹的平面问题的应力分析高健2、刘官厅1.内蒙古028043(民族大学数学学院,内蒙古通辽)2.内蒙古师范大学数学科学学院古呼和浩特010022(,内蒙)摘要:利用复变函数方法和积分方程理论研究了既含有圆形孔口又含有水平裂纹函数的边的无限大平面的平面弹性问题,将复杂的解析值问题化成了求解只在裂纹上的奇异积分方程的问题.此外,还给出了裂纹尖端附近的应力场和应力强度因子的公式.关键

2、词:复变函数方法;积分方程;奇异积分方程;应力强度因子固体中既含有裂纹又含有孔洞的弹性与断裂问题是固体力学中的一个重要而又难以解一决的问题长期以来直被数学和力学界所关注.对于复杂缺陷的平面弹性和断裂问题,,尤其是带有孔洞和裂纹的平面问题5-7就,最能显示出复变函数解法的优越性其中文献[]分别通过构造新的保角映射利用复变函数方法研究了圆形孔口带单裂纹、对称的双裂纹及不对称三裂纹的平面弹性问题求出了问题的精确解析解.然而由保角映射的相关理论可以,8-9知道这种方法并不适用于弹性体为多连通区域时对应的平面弹性和断裂问题.而文献[]运用复变函数

3、方法和积分方程理论,通过引入Sherman变换研究了多连通区域的平面焊接问题.本文运用复变函数方法将满足已知边界条件的含有圆形孔口和水平裂纹的无限大平面的平面弹性问题转化为解析函数的边值问题,再通过引入Sherman变换把解析函数的边值问题1Q_n转化为积分方程组的问题[】,最后利用积分方程理论将问题最终化为求解裂纹i:的奇异积分方程的问题说明了其解的存在唯一性分析了裂纹尖端附近的应力场分布,,,给出了应力强度因子的公式.1复应力函数的一般表示和基本问题1一.1复应力函数的般表示问题的构型如图1所示性体所在区域为SL一为单位圆周,圆心为

4、坐标原点0,弹,,7为一沿工轴方向的水平裂纹.由文献2中的分析可知此时复应力函数一於(力、矽⑷的般表示为[]Z=l0Z_l0zTz小{)g()g++^⑷t^fl)--收稿日期:20110429资助项目:国家自然科学基金11262017)(2期高健:99,等含圆形孔口和水平直裂纹的平面问题的应力分析1)()'=o+rz寸iog+igzz+如{)a⑷H⑷?+》U?其中Aiy+%和A+7分别为孔口和裂纹上的外应力主矢量,a⑷为适当的保角变换'(见文2)r与r是与弹性体在无穷远处的受力有关的常数?是与弹性体的材料常数有关,,[]z的常数0o和咖

5、⑷为s内的两个全纯函数.,()__1L:___IS尸-xiVoirVJ,,丨p,图1带单位圆形孔口和水平裂纹的无限平面1.2基本问题本文讨论当弹性体在无穷远处受单向均匀拉伸P,其余各边界上无应力也无位移时的情一形12中的结论可知此时弹性体的第基本问题对应的解析函数的边值,如图所示,由文献[]问题为I在i上)+1x2+x4x+j()+c2()i{)^()()f,y()其中!(t)、V:(t)以及4>f⑷、对⑷分别为S中的两全纯函数4>

6、0⑷和咖⑷在L及7t取顺时针方向为正向,由弹性的两侧上的边值,h(和传⑷分别为两个巳知函数体的受,)力情况决定Ch、C2为待定常数.,1.3将原问题化为积分方程的问题28-9Shermano根据文献中的做法;,仿照的方法,引进缺陷边界上的连续函数⑷,这,[]i+里《e7,令=^

7、下两个奇异积分方程在7上有(xe7)+=+C/2(xa(5)士:J,7)在i上有(tei)—-_)+屯崎陶士/鹄士/扫77bo+-=6/iW+Ca)(Q

8、^)1Q-U—方程56[】(起构成该问题对应的积分方程组,根据积分方程理论)和()可以证明一该问题在适当选取C后a;此解必满足wa=wb=0,方程组有唯解0,且以及前面所j(()()有提到的有关w各项假定.(0的2化为裂纹上的奇异积分方程以下将说明如何把原方程5和(6)化为积分曲线只在裂纹上的方程因而更便于问题的()求解.首先将方程(6成)写,=-屯+⑷dlog+-△鹗士h//㈢j^T

9、^乂Bt-A-bo-+h+7+^Cx()fj^jj其中已令=~BA=^^rf^bJ(8)L再令(无论z属于7与否)h⑷9()_一一则根据单位圆上的点满足-=lti这性质可知方程(7可以进步化简为)wt=--