2.3 函数的奇偶性

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1、§2.3　函数的奇偶性(时间：45分钟　满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1．(2010·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于(　　)A．3B．1C．－1D．－32．(2010·全国)设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x

2、f(x－2)>0}等于(　　)A．{x

3、x<－2或x>4}B．{x

4、x<0或x>4}C．{x

5、x<0或x>6}D．{x

6、x<－2或x>2}3．已知f(x)(x∈R)为奇函数，f(2)＝1，

7、f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(3)等于(　　)A.B．1C.D．24．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是(　　)A．(－∞，2)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(2，＋∞)5．f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是(　　)A．1B．4C．3D．2二、填空题(每小题6分，共24分)6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f

8、(x)，则f(2)＝________.7．(2010·江苏)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋5)＝－f(x)＋2，且当x∈(0,5)时，f(x)＝x，则f(2011)的值为________．9．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]

9、上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确的序号是________．三、解答题(共41分)10．(13分)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，若a、b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有>0.判断函数f(x)在[－1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论．11.(14分)已知函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．12．(14分)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．若f(x)

10、为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2009]上的所有x的个数．答案1．D2．B3．C4．B5．B6．07．－18．19．①②⑤10．解　f(x)在[－1,1]上是增函数．证明如下：任取x1、x2∈[－1,1]，且x10，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

11、(x)的定义域是R，它关于原点对称．在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)解　由f(－3)＝a，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)及f(x)是奇函数，得f(12)＝2f(6)＝4f(3)＝－4f(－3)＝－4a.12．解　当0≤x≤1时，f(x)＝x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝(－x)＝－x.∵f(x)是奇

12、函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.故f(x)＝x(－1≤x≤1)．又设1

13、1(n∈Z)．令0≤4n－1≤2009，则≤n≤，又∵n∈Z，∴1≤n≤502(n∈Z)，∴在[0,2009]上共有502个x使f(x)＝－.