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《2.3函数的奇偶性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§2.3函数的奇偶性1.奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有，那么函数f（x）就叫做偶函数.一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有，那么函数f（x）就叫做奇函数.2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是:(1)考查定义域是否关于；(2)根据定义域考查表达式f(-x)是否等于f(x)或-f（x）.若，则f（x）为奇函数.若f（-x）=，则f（x）为偶函数.若f（-x）=且f（-x）=，则f（x）既是奇函数又是偶函数.若f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x），则f（x）既不是奇函数又不
2、是偶函数，即非奇非偶函数.要点梳理f（-x）=f（x）f（-x）=-f（x）原点对称f（-x）=-f（x）f（x）-f（x）f（x）3.奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性(填“相同”、“相反”).(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积是；③一个奇函数，一个偶函数的积是.1.（2008·福建理，4）函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（-a）的值为.解析设g(x)=x3+sinx,很明显g(x)是一个奇函数.∴f（x）=g（x）+1.∵f
3、（a）=g（a）+1=2，∴g（a）=1，∴g（-a）=-1，∴f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0.相同相反奇函数偶函数奇函数基础自测02.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为.解析依题意f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(6)=f(2)=f(0+2)=-f(0),又∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，∴f（6）=-f（0）=0.3.设偶函数f(x)=loga
4、x-b
5、在（-∞,0)上单调递增，则f(a+1)f(b+2)（用“≥”,“≤”,“＜”,“＞”填空）.解析∵f(x)是偶函数，∴
6、b=0.又f(x)在(-∞,0)递增，∴0＜a＜1,∴a+1＜b+2，故f(a+1)＞f(b+2).4.已知f（x）=是奇函数，则实数a的值为.解析f（x）的定义域为R且为奇函数0＞15.函数f(x),g(x)在区间［-a，a］(a＞0）上都是奇函数，有下列结论：①f(x)-g(x)在［-a,a］上是奇函数；②f(x)+g(x)在［-a,a］上是奇函数；③f(x)·g(x)在［-a,a］上是偶函数；④f(0)+g(0)=0,则其中正确结论的个数是.解析∵f（x）,g(x)都是定义域［-a，a］上的奇函数∴f（-x）-g(-x)=-f(x)+g(x)=-［f(x)-g(x)］,
7、∴①正确.又任取x∈［-a,a］，则f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-［f(x)+g(x)］,∴②正确.又f(-x)·g(-x)=-f(x)·［-g(x)］=f(x)·g(x),∴③正确.又∵f（x），g（x）在x=0处都有定义，且为奇函数，∴f（0）=0，g（0）=0，∴f（0）+g（0）=0，故④正确.4判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=·;(2)f(x)=log2(x+)(x∈R);(3)f(x)=lg
8、x-2
9、.【思维启迪】先求函数的定义域，再判断f(-x)与f(x)的关系.解（1）∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,即f(x)的
10、定义域是{-1，1}.∵f（1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故f(x)既是奇函数又是偶函数.题型一函数奇偶性的判断（2）方法一易知f(x)的定义域为R，又∵f(-x)=log2=log2=-log2(x+)=-f(x),∴f(x)是奇函数.方法二易知f(x)的定义域为R，又∵f（-x）+f（x）=log2［-x+］+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（3）由
11、x-2
12、＞0，得x≠2.∴f（x）的定义域{x
13、x≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.探究拓展（1）确定函
14、数的奇偶性，一般先考察函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数，若对称再看f(-x)与f(x）的关系.（2）判断函数奇偶性的常用方法有：①利用定义；②求和（差）判断；③求商判断，即看与±1的关系，注意此时分母不为零才可以；④图象法；⑤性质法.已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证：f(x)是奇函数；（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-,试求f
