第二章 2.2.1 第1课时

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1、2．2.1　对数与对数运算第1课时　对　数明目标、知重点　1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化.3.理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值．1．对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg_N，logeN简记为ln_N.3．对数与指数的关系若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.对数恒等式：alogaN＝N；

2、logaax＝x(a>0，且a≠1)．4．对数的性质(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．[情境导学]对数，延长了天文学家的生命．“给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙”，这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话．从这段话可以看出，伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论．那么，“对数”到底是什么呢？本节就来探讨这个问题．探究点一　对数、常用对数与自然对数的概念思考1　已知2x＝2，则x＝1；2x＝4，则x＝2；2x＝8，则x＝3；2x＝10，则x＝？像这样，已知底数和幂的值求指数，就是我们要学习的对数．那么你能给对数一个

3、定义吗？答　一般地，若ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．思考2　根据对数的定义，如何将＝1.01x、42＝16写成对数形式？答　由＝1.01x，得x＝log1.01，称x是以1.01为底的对数；由42＝16，得log416＝2.思考3　在对数式x＝logaN中，底数a和真数N的取值范围是什么，为什么？答　由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.探究点二　对数式与指数式的互化思考1　在指数式

4、和对数式中都含有a，x，N这三个量，那么这三个量在两个式中各有什么异同点？答　幂底数←a→对数底数；指数←x→对数；幂←N→真数．思考2　指数式与对数式具有怎样的关系？答　当a>0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN.思考3　指数式ab＝N和对数式b＝logaN有何区别与联系？答　二者反映的本质是一样的，都是a、b、N之间的关系式；但二者突出的重点不一样，指数式ab＝N中突出的是指数幂N，而对数式b＝logaN中突出的是对数b.例1　将下列指数式写成对数式：(1)54＝625；(2)2－6＝；(3)3a＝27；(4)m＝5.73.解　(1)log56

5、25＝4；(2)log2＝－6；(3)log327＝a；(4)log5.73＝m.反思与感悟　logaN＝x与ax＝N(a>0，且a≠1，N>0)是等价的，表示a，x，N三者之间的同一种关系，可以利用其中两个量表示第三个量．跟踪训练1　将下列对数式写成指数式：(1)log16＝－4；(2)log2128＝7；(3)lg0.01＝－2；(4)ln10＝2.303.解　(1)－4＝16；(2)27＝128；(3)10－2＝0.01；(4)e2.303＝10.例2　求下列各式中的x的值：(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg100＝x；(4

6、)－lne2＝x.解　(1)x＝＝＝4－2＝.(2)x6＝8，所以x＝＝＝＝＝.(3)10x＝100＝102，于是x＝2.(4)由－lne2＝x，得－x＝lne2，即e－x＝e2.所以x＝－2.反思与感悟　要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练2　计算：(1)log927；(2)；(3).解　(1)设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，∴x＝.(2)设x＝log81，则x＝81,3＝34，∴x＝16.(3)令x＝，∴x＝625,5x＝54，∴x＝3.探究点三　对数的基本性质思考1　是不是所有

7、的实数都有对数？为什么？答　负数与零没有对数，因为在指数式中N>0，所以只有正数才有对数．思考2　根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1，logaa分别等于什么吗？答　loga1＝0，logaa＝1.∵对任意a>0且a≠1，都有a0＝1，∴化成对数式为loga1＝0；∵a1＝a，∴化成对数式为logaa＝1.思考3　你能推出对数恒等式＝N吗？答　如果把ab＝N中的b写成logaN，则有＝N.例3　求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；(3)log(－1)＝x.解　(1)∵log2(log5x

8、)＝0.∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31