现代控制理论-011(第6章状态观测器设计)

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1、现代控制理论ModernControlTheory(11)俞立浙江工业大学信息与控制研究所第6章状态观测器设计已知系统模型⎧x"=Ax+Bu⎨⎩y=Cx问题：如何从系统的输入输出数据得到系统的状态？tAAtt()−τxx()te=+(0)∫eBu()dττ0初始状态：由能观性，从输入输出数据确定。不足：初始状态不精确，模型不确定。~思路：构造一个系统，输出x(t)逼近系统状态x(t)~lim[xt)(−x(t)]=0t→∞~x(t)称为是x(t)的重构状态或状态估计值。实现系统状态重构的系统称为状态观测器。xy状态估计的开环处理：x"=Ax+

2、BuCu问题：不能处理模型~~y~"~xx=xA+BuC不确定性和扰动！初始状态未知！应用反馈校正思想来实现状态重构。通过误差来校正系统：状态误差，输出误差。x"=Ax+Buyy=CxuL－~~~"~xyx=Ax+BuC状态观测器模型~"~~x=Ax+Bu+L(y−Cx)龙伯格（Luenberger）观测器~=(A−LC)x+Bu+LyL是观测器增益矩阵，对偏差的加权。~真实状态和估计状态的误差向量e=x−x误差的动态行为：e"=x"−x~"~=Ax+Bu−(A−LC)x−Bu−Ly~=Ax−(A−LC)x−LCx=(A−LC)eA−LC的极

3、点决定了误差是否衰减、如何衰减？通过确定矩阵L来保证。极点配置问题V要使得误差衰减到零，需要选取一个适当的矩阵L，使得A－LC是稳定的。V若能使得矩阵A－LC具有适当的特征值，则可以使得误差具有一定的衰减率。由于Tdet[λI−(A−LC)]=det[λI−(A−LC)]TTT=det[λI−(A−CL)]TT因此，问题转化为(A,C)的极点配置问题。TT该极点配置问题可解的条件：(A,C)能控等价于(C,A)能观定理6.1.1系统可以任意配置观测器极点的充分必要条件是（C,A）能观。观测器的增益矩阵可以按照极点配置的方法来设计。TTV求解(

4、A,C)的极点配置问题，得到增益矩阵K；TV观测器增益矩阵L=K观测器设计的三种方法：直接法、变换法、爱克曼公式例考虑由以下系数矩阵给定的系统⎡01⎤⎡1⎤A=⎢⎥,B=⎢⎥,C=[]10⎣−10⎦⎣0⎦要求设计一个观测器，使得观测器两个极点都是－2。检验系统的能观性：⎡C⎤⎡10⎤Γ[A,C]=⎥=o⎢⎢⎥⎣CA⎦⎣01⎦系统是能观的，因此问题可解。⎡l1⎤要求确定观测器增益矩阵L=⎢⎥，使得矩阵A－LCl⎣2⎦具有两个相同的特征值－2。由于⎛⎡λ0⎤⎡01⎤⎡l1⎤⎞det[λI−(A−LC)]=det⎜⎜⎢⎥−⎢⎥+⎢⎥[]10⎟⎟0λ

5、−10l⎝⎣⎦⎣⎦⎣2⎦⎠⎛⎡λ+l1−1⎤⎞=det⎜⎜⎢⎥⎟⎟1+lλ⎝⎣2⎦⎠2=λ+lλ+1+l12期望的特征值多项式是2(λ+2)(λ+)2=λ+4λ+4比较两个多项式，可以得到⎡4⎤l1=4，l2=3⇒L=⎢⎥⎣3⎦所求的观测器是~"~x=(A−LC)x+Bu+Ly⎛⎡01⎤⎡4⎤⎞~⎡1⎤⎡4⎤=⎜⎜⎢⎥−⎢⎥1[]0⎟⎟x+⎢⎥u+⎢⎥y⎝⎣−10⎦⎣3⎦⎠⎣0⎦⎣3⎦⎡−41⎤~⎡1⎤⎡4⎤=⎢⎥x+⎢⎥u+⎢⎥y⎣−40⎦⎣0⎦⎣3⎦应用MATLAB命令来计算观测器增益矩阵：L=(acker(A’,C’,V))’L=(pl

6、ace(A’,C’,V))’观测器设计时注意的问题：V观测器极点比系统极点快2～5倍；V并非越快越好。兼顾观测器误差的衰减和系统抗扰动能力。倒立摆例子⎡0100⎤⎡0⎤⎢⎥⎢⎥00−101x"=Ax+Bu=⎢⎥x+⎢⎥ux=[yy"θθ"]T⎢0001⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎣00110⎦⎣−1⎦y=Cx=1[00]0xT初始误差：e)0(=1[21.0−]1.01200.5-2e1e2-40-6-0.5-80123401234timetime4015010020e3e45000-20-500123401234timetime基于观测器的控制器设计系

7、统模型x"=Ax+Buy=Cx假定系统是能控、能观的。使得闭环系统极点为λ1,λ2,?,λn的状态反馈控制律是u=−Kx。若系统状态不能直接测量，可以用观测器~"~~x=Ax+Bu+L(y−Cx)~=(A−LC)x+Bu+Ly~来估计系统的状态。进而用u=−Kx来替代原来的控制问题：还具有原来的效果吗？利用状态估计值的反馈控制器是~"~x=(A−LC−BK)x+Ly~u=−Kx基于观测器的输出反馈控制系统结构图：u+xyB∫ٛC+A-K++~x~y+B_∫ٛC_+AL观测器增加了积分器，闭环系统是2n阶的。T~TT[xx]为闭环系统状态，则闭

8、环系统状态方程：x"=Ax+Bu=Ax−BK~x~"~x=(A−LC−BK)x+LCx写成矩阵向量形式：⎡x"⎤⎡A−BK⎤⎡x⎤⎢~"⎥=⎢⎥⎢~⎥⎣x⎦⎣LCA