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《立体几何-平行问题（2014）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、立几中的平行问题平行关系的证明的基本思路：①利用点线面关系的互换；②立几问题转化为平面问题解决。1．平面内如何判断线线平行：平面几何的知识：①平行四边形(另一组对边平行且相等)；②三角形（中位线、线段成比例）等。2．公理4：平行于同一直线的两直线互相平行。3．垂直于同一个平面的两条直线平行（垂线可以平移）。4．线面关系的互换：线线平行线面平行面面平行（1）线线线面线面平行的判定定理：如果平面外一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和平面平行；（2）（两）线面面面面面平行的判定定理：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个
2、平面平行；（3）面面线面面面平行的性质定理：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线与另一个平面平行。*（4）面面线线面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；*（5）线面线线线面平行性质定理：一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；21相关例题：1．(2012辽宁文)如图，直三棱柱，，，点分别为和的中点。(Ⅰ)证明：∥平面;(Ⅱ)求三棱锥的体积。【答案】2.(2010北京)如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，。（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；
3、（Ⅲ）求二面角的大小。3.(2012山东文)如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若∠，M为线段AE的中点，求证：∥平面.214．(2009浙江20090423理20)如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．（I）设是的中点，证明：平面；（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．ABCDPQM5．（2013浙江）如图,在四面体中,平面,，.是的中点,是的中点,点在线段上,且.(1)证明:平面；(2)若二面角的大小为,求的大小.6．（2013安徽）如图,圆锥顶点为.底面圆心为,其母
4、线与底面所成的角为22.5°.和是底面圆上的两条平行的弦,轴与平面所成的角为60°.(Ⅰ)证明:平面与平面的交线平行于底面;(Ⅱ)求.【答案】217.(2012浙江文)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱中，，，，，，，是的中点，是平面与直线的交点.（1）证：（i）；（ii）平面；（2）求与平面所成的角的正弦值.【答案】8.(2011山东文)如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，，，60°（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：.9.(2012福建理)如图，在长方体中，，为中点。（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，
5、说明理由。21（Ⅲ）若二面角的大小为，求的长。【答案】（3）立几中的垂直问题垂直关系的证明的基本思路：①利用点线面关系的互换；②立几问题转化为平面问题解决。1．平面内如何判断线线垂直：（平面几何的知识）①等腰三角形（三线合一）；②直角三角形（两角和为；勾股定理，有时要用余弦定理求长度）；③圆：直径所对的圆周角为直角（三角形某边的中线等于边长一半能够成圆）；④菱形（邻边相等的平行四边形为菱形，从而得出对角线互助垂直）；*⑤矩形（对角线相等的平行四边形为矩形，从而得出相邻两边垂直）；*⑥平面内两平行直线，其中一条垂直于某直线，另一条也垂直于
6、这条直线。2．线面关系的互换：线线垂直线面垂直面面垂直（1）（两）线线垂直线面垂直线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面的两条相交直线都垂直，那么这条直线与此平面垂直；（2）线面垂直线线垂直线面垂直的性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于此平面内的任一直线；（3）线面垂直面面垂直（找垂线）面面垂直的判定定理：如果一个平面经过或平行于另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直；*（4）面面垂直线面垂直(已知条件有“面面垂直”才会用到这个定理)面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平
7、面；213.结论要证明异面直线垂直、面面垂直都是转化为线面垂直的。4．条件如有面面垂直，一定优先转化为线面垂直。相关例题：(Ⅰ)(Ⅱ)图61．如图6—(Ⅰ)所示，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，，作//，分别交、于点、，作//，分别交、于点、，将该正方形沿、折叠，使得与重合，构成如图6—(Ⅱ)所示的三棱柱．（1）在三棱柱中，求证：平面；（2）求（答案：20）2．（2013广东）如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.(Ⅰ)证明:平面；(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值.（答案
8、：）.COBDEACDOBE图1图2213．（2013江西）如图,四棱锥中，平面，为的中点，为的中点，，，，连接并延长交于.(1)求证:;(2)求平面与平面的夹角的余弦值.（）4.(2011山东文)如图，在
