2.5常见一维连续型随机变量

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1、信息系刘康泽第2-5节常见一维连续型随机变量一、均匀分布（1）定义：若随机变量x的概率密度为：ì1ïaxb„„px()=íba-ïî0其它则称x服从[a,b]上的均匀分布。记成x~U[a,b]【概率意义】服从[a,b]上均匀分布的随机变量x取到[,]ab中任一子区间[cd,]的概率与该子区间的长度成正比，而与子区间的具体位置无关。信息系刘康泽dd1dc-P(c„„xd)=òòpx().dx==dxccb--aba(c,d)Ì(,)ab若记A={}cd„„x，则上式可理解为：有利于A发生的区间长度PA()=整个区间长度因此均匀分布与古典概型非常类似，可理解为“连续情况下的古典概型”。“均匀

2、”反映了x取值的等可能性.因此均匀分布常用作随机投点的数学模型。适用于在[a,b]上均匀取值的随机变量.在数值计算中，（四舍五入引入的误差，蒙特卡罗方法）；在计算机模拟中都起着非常重要的作用。信息系刘康泽（2）分布函数当xb时：xb1ba-F(x)==òòpt()1dtdt==.b--aba-¥a信息系刘康泽所以：密度函数px()ì0,,xa„ïïxa-Fx()=í,,axb„„xïba-abïî1,.xb>分布函数F

3、x()1xab信息系刘康泽例1、长途汽车站每隔3小时发一班车，现有一乘客随机到站候车。设x表示乘客的侯车时间．问该乘客侯车时间小于半小时的概率。解：乘客到站相当于在(0,3)内随机投点，可见ì1ï03„„xx~U[0,3]，即:px()=í3ïî0其它311所以：P(2.5„„x3)==òdx。2.536信息系刘康泽例2、信息系刘康泽二、指数分布1、【定义】若随机变量x具有概率密度-lxìlex0,>px()=í()l>0î0.0x„则称x服从参数为l的指数分布(其中l为常数)。记为：xl~E().2、【概率意义】指数分布是一种常见的分布:(1)在排队论中：许多“等待时间”都服从指数分布

4、，如：购物的等待时间；飞机跑道的空闲时间；母鸡两次下蛋之间的等待时间等。信息系刘康泽(2)在随机服务系统中：许多“服务时间”都服从指数分布，如：电话的通话时间；服务行业中为顾客的服务时间等。(3)在可靠性理论中：许多“寿命”都服从指数分布，如：电子元件的寿命；保险丝、宝石、轴承和玻璃、陶瓷制品等元件的寿命都服从指数分布。另外，某些动物的寿命，汽车行驶的里程数等也服从指数分布。3、【分布函数】xx-lt当x>0时，F(x)==òòpt()dtledt00xx-lt--lltx=-òed(-lt)=-ee=-1.00当x„0=时,Fx()0信息系刘康泽-lxì1->ex，0,所以：Fx()=

5、íî0,0.x„-3例3、设灯泡寿命x~E(10),求三个灯泡使用310小时后至少有一个未坏的概率.-lx-3解:若xl~E(),F(x)=1-e，l=10,x那么对于一个灯泡而言：3p=P{灯泡使用10小时以上}33=>PP{xx10}=-1{„10}3.3--l101=1-F(10)==eex3而三个灯泡使用10小时后未坏的灯泡数h~B(3,p)，3于是：P{hh…1}=1-Pp{=0}1=-(1)-=0.7474.信息系刘康泽2例4、设x:E(1)，求方程xx+xx-+=80无实根的概率。解：要使方程无实根，应有：22D=xx-4(-+8)=+-

6、ìex…0又px()=íî00x<44故P(-8)s+txx>s)=>Pt()。证明：P()xx>s+>ts＝P(x>s+t且xx>s)P()>+st=P(xx>>s)Ps()-+l()st1-P(x„s+te)1--(1)==-ls1-P()x„se1--(1)-+l()ste--lltt==ee=1--(1)指数分布的-lse“永远年轻性”=1-P(xx„t)=>Pt()或“无记忆性”。信息系刘康泽例6、设系统由元件A,B并联而成，A,B的寿命分别为x

7、h,，且它们都服从参数为l的指数分布。若A，B的工作相互独立，求系统的寿命X的分布函数与密度函数。-lx解：F(x)=-1ex(…0)x-lyF(y)=-1ey(…0)h系统的寿命实际上是xh,中的较大者，即：X=max{xh,}故:F(x)==P(X„z)P()xh„„zz且，(z…0)X-lz2=P(xh„„z)gP(z)=F(z)F(ze)=-(1)xh--llzz故：p(z)=F¢(z)=-2le(1ez)(…0)XX显然：