非线形半群讲义

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1、非線形半群講義－単独保存則への応用を中心に－小林良和中央大学理工学部目次1単独保存則12試験関数143単独保存則のエントロピー解244縮小半群と消散作用素,指数公式325抽象コーシー問題426ソボレフ空間547粘性を伴う単独保存則に支配される半群588半群の収束689単独保存則に支配される半群7210半群の近似8311単独保存則の差分近似881単独保存則Fを既知の関数，xを空間変数，tを時間変数とするとき,スカラー量u=u(x;t)に関する@tu+@xF(u)=0(1.1)という形の偏微分方程式で記述される法則を量uに関する単独保存則という

2、．このような法則に従うと考えられる現象には交通の流れ,氷河の流れ,洪水時の河川の流れ,風による山岳の侵食などがある．ここでは特に交通の流れの数学モデルとして現れる単独保存則について,その解の典型的な様子を調べ,一般的に保存則を考える為の準備とする．車の流れ(trafficflow)の数学モデルとしては,microscopicなもの,macrosopicなもの,mesoscopic(kinetic)なものの３種が知られている．通常の手段で観測される量を対象にするモデルがmacroscopicなモデルであり,ここで考えるモデルである．このmacros

3、opicなモデルでは交通密度½,交通流量q,車速度vなどを対象とする．これらは位置xと時間tの関数である．車はすべてx-直線の正の向きに進むとする．交通密度½は,ある時刻における単位長さあたりの車の数を表す．したがってZx1½(x;t)dxx0は時刻tにおいて区間x0

4、数を表す．したがって,Zt1q(x;t)dtt0は時刻t0からt1の間に位置xを通過する車の総数を与える．よって,またZt1Zt1Zt1q(x0;t)dt¡q(x1;t)dt=(q(x0;t)¡q(x1;t))dt(1.3)t0t0t0は,時刻t0からt1までの間に,区間x0

5、う．この式でx0=x,x1=x+¢x,t0=t,t1=t+¢tとおき,¢t¢x6=0で除してから,¢t!0,¢x!0とすれば@t½+@xq=0(1.5)を得る．これを(微分形の)車の数の保存則という．車速度vはある位置を通過する車の平均速度を表す．したがって,q=½v(1.6)が成り立つ．これを(1.5)に代入して@t½+@x(½v)=0(1.7)を得る．微分方程式(1.7)を閉じるためにLighthillとWhitham[43]は車速度vは密度½の関数であるとするモデルを提案した:v=V(½);q=Q(½)=½V(½):(1.8)このとき

6、方程式は@t½+@xQ(½)=0(1.9)となる．関数V(½)やQ(½)の形は一般には観測によって決められるが,次の性質をもつと考えられる．道路上に他の車がいない状況では車は制限速度(最高の速度)vm>0で走行するであろう．しかし,車の数が多くなるとそれだけ速度を落とさなければならなくなる．すなわちdV0=V(½)·0d½と考えられる．さらに交通密度がある密度½m>0に達すると車は停止せざるを得なくなるであろう:V(½m)=0:最大密度½mを数珠つなぎ交通密度(bumpertobumperdensity)という．このような性質を持つV(½)

7、として最も簡単なものはµ¶½V(½)=vm1¡;0·½·½m(1.10)½mである．これを線形モデルという．他に,n1;n2>0としてµµ¶n1¶n2½V(½)=vm1¡;0·½·½m½mという形のモデルも提案されている．([31]を参照．)Greenberg[25]はa>0を適当な定数としてV(½)=¡alog(½=½m);0<½·½mとおくモデルを提案し,リンカーン・トンネル(ニュージャージーとニューヨーク市を結びハドソン川の下を走る約2マイル＝約3km強の長さのトンネル)などでの観測と十分適合することを報告している．このモデルではvm

8、=1である．21v(x)0.80.60.40.2000.20.40.60.81図1:線形モデルにおける交通密度・車速度関係0.25q(x)0.20.150.10.05000.20